03 · 闭合电路欧姆定律

电源与电动势的物理本质

1. 非静电力与电源的作用

在静电场中，静电力总是驱使正电荷从高电势流向低电势。要维持持续恒定的电流，必须有一个“水泵”般的能量转换装置，能够克服静电力的阻碍，将正电荷从电势较低的负极搬运回电势较高的正极。这一装置就是电源（Power Source）。

• 非静电力（Non-electrostatic Force）：电源内部促使电荷逆着静电力运动的力。在化学电池中，非静电力是化学溶解与氧化还原反应力；在发电机中，非静电力是洛伦兹力；在太阳能电池中，非静电力是光生伏特效应内建力。
• 能量转化本质：非静电力做功的过程，就是将其他形式的能（化学能、机械能、光能）转化为电势能的过程。

2. 电动势的比值定义式

非静电力把正电荷从负极移送到正极所做的功 $W$ 与被移送的电荷量 $q$ 的比值，叫作电源的电动势（Electromotive Force, EMF），用字母 $E$ 表示：

$$E=\frac{W}{q}$$

• 国际单位：伏特（Volt，符号 $\text{V}$），$1\text{V}=1\text{J/C}$；
• 标量性：电动势是标量，方向习惯上规定在电源内部由负极指向正极（即电势升高的方向）；
• 物理意义：电动势表征电源把其他形式的能转化为电能本领大小的物理量。电动势只由电源本身的物理和化学性质决定，与电源的大小、是否接入电路以及外电路的结构完全无关。

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闭合电路欧姆定律的能量守恒推导

设闭合电路由内电路（电源内部，内阻为 $r$）和外电路（负载电阻为 $R$）组成。电路中通过的稳恒电流为 $I$：

1. 能量平衡推导

在时间 $t$ 内：

1. 电源非静电力做的总功（转化的总电能）：$$W_{\text{总}}=Eq=EIt$$
2. 外电路上消耗的电能（转化为内能或机械功）：$$W_{\text{外}}=U_{\text{外}}It=I^{2}Rt$$
3. 内电阻上消耗的电能（产生内阻焦耳热）：$$W_{\text{内}}=U_{\text{内}}It=I^{2}rt$$
4. 根据能量守恒定律，全电路中电源产生的总电能等于内外电路消耗的总电能：$$W_{\text{总}}=W_{\text{外}}+W_{\text{内}}⟹EIt=I^{2}Rt+I^{2}rt$$

两边同除以 $It$，得到闭合电路的能量平衡式：

$$E=IR+Ir=U_{\text{外}}+U_{\text{内}}$$

2. 定律内容与数学公式

闭合电路中的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比。

$$I=\frac{E}{R+r}$$

• 路端电压（外电压 $U$）公式：$$U=E-Ir$$

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路端电压随外电阻的变化规律与极限分析

根据路端电压公式 $U=E-Ir=E-\frac{E}{R+r}r=\frac{ER}{R+r}=\frac{E}{1+\frac{r}{R}}$：

1. 外电阻变化与端电压的单调关系

• 外电阻 $R$ 增大：总电流 $I=\frac{E}{R+r}$ 减小，内阻分压 $Ir$ 减小，路端电压 $U$ 增大；
• 外电阻 $R$ 减小：总电流 $I$ 增大，内阻分压 $Ir$ 增大，路端电压 $U$ 减小。

2. 两大极端物理边界

1. 断路状态（Open Circuit，$R\to \mathrm{\infty }$）：
   • 电路未接通，外电阻无穷大，电流 $I=0$；
   • 内电压降落为零：$U_{\text{内}}=Ir=0$；
   • 路端电压达到最大值，且严格等于电源电动势：$$U_{\text{断}}=E$$

   TIP

   实验室常用高内阻电压表直接接在电源两极，此时测得的近似开路端电压就是电源电动势 $E$。

2. 短路状态（Short Circuit，$R=0$）：
   • 用无电阻导线直接连接电源正负极，路端电压为零：$U=0$；
   • 短路电流达到极大值：$$I_{\text{短}}=\frac{E}{r}$$
   • 由于电源内阻 $r$ 通常很小（干电池几欧，铅蓄电池零点几欧），短路电流极其巨大，会瞬间产生毁灭性焦耳热烧毁电源甚至引发火灾！因此一切电路必须安装熔断器或空气开关防止短路。

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电源的 $U-I$ 伏安特性图线全解

根据路端电压方程 $U=E-Ir$，在以路端电压 $U$ 为纵轴、干路电流 $I$ 为横轴的直角坐标系中，图线是一条倾斜向下的直线：

• 纵轴截距：令 $I=0$（断路），纵截距在数值上严格等于电源电动势 $E$；
• 横轴截距：令 $U=0$（短路），横截距在数值上严格等于短路电流 $I_{\text{短}}=\frac{E}{r}$；
• 斜率的物理意义： 直线的斜率为负值，其绝对值在数值上严格等于电源的内阻 $r$：$$r=\left|\frac{\mathrm{\Delta }U}{\mathrm{\Delta }I}\right|$$
  • 直线越陡峭（斜率绝对值越大），电源内阻 $r$ 越大；直线越平缓，内阻越小（理想电压源内阻为零，图线为水平线）。