03 · 电势能、电势与电势差

静电力做功与电势能

1. 静电力做功的路径无关性（保守力特征）

正如重力做功只取决于初末高度差一样，在静电场中移动电荷时，静电力所做的功只与电荷的初位置和末位置有关，而与电荷经过的具体运动路径完全无关。

• 静电力是典型的保守力；
• 电荷沿任意闭合路径移动一周回到出发点，静电力做的总功代数和严格为零：$\oint {\overrightarrow{F}}_e\cdot d\overrightarrow{r}=0$。

2. 静电力做功与电势能变化量的核心等式

电荷在电场中具有的与其空间位置相关的能量叫作电势能（Electric Potential Energy），用 $E_p$ 表示：

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}=-\mathrm{\Delta }{E}_p$$

• 静电力做正功（$W_{AB}>0$）：电荷的电势能减少（电场力释放能量）；
• 静电力做负功（$W_{AB}<0$，克服静电力做功）：电荷的电势能增加（外力对电荷做功转化为电势能储存）。

TIP

电势能的正负判定技巧：

• 正电荷顺着电场线运动：电场力做正功，电势能减小；逆着电场线运动：电势能增大；
• 负电荷顺着电场线运动：电场力做负功，电势能增大；逆着电场线运动：电势能减小。

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电势（Electric Potential）

电势是用来从“能量”角度刻画电场本身性质的物理量。

1. 比值定义式

电荷在电场中某一点的电势能 $E_p$ 与它的电荷量 $q$ 的比值，叫作该点的电势（Electric Potential），用 $\phi$ 表示：

$$\phi =\frac{E_p}{q}$$

• 标量性：电势是标量，只有大小和正负，没有方向。正负号表示该点电势高于还是低于参考点电势；
• 国际单位：伏特（Volt，符号 $\text{V}$），$1\text{V}=1\text{J/C}$；
• 零电势参考点的选择：电场中某点的电势数值取决于零势能参考点的选取。在高中物理中，通常规定大地或离场源电荷无穷远处为零电势点（$\phi =0$）。

2. 电势高低的唯一几何判据

IMPORTANT

顺着电场线的方向，电势必然逐渐降低！
电场线指向的是电势降落最快的空间梯度方向。无论电场线是平行的直线还是复杂的曲线，顺着电场线行进，沿途各点的电势单调递减：

$${\phi }_{\text{起点}}>{\phi }_{\text{终点}}$$

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电势差（Potential Difference / Voltage）

1. 定义式与物理意义

电场中两点间电势的差值叫作电势差（也称电压），记作 $U_{AB}$：

$$U_{AB}={\phi }_A-{\phi }_B$$

• 显然有：$U_{BA}={\phi }_B-{\phi }_A=-U_{AB}$；
• 绝对性：电势具有相对性（依赖于零电势点），但两点间的电势差 $U_{AB}$ 与零电势点的选取完全无关！

2. 静电力做功与电势差的关系公式

将 ${\phi }_A=\frac{E_{pA}}{q},{\phi }_B=\frac{E_{pB}}{q}$ 代入做功与电势能关系：

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}=q({\phi }_A-{\phi }_B)=q{U}_{AB}$$

变形得到电势差的比值定义式：

$$U_{AB}=\frac{W_{AB}}{q}$$

WARNING

全符号代入法则：
在应用 $W_{AB}=q{U}_{AB}$ 时，所有物理量均带有正负号！电荷量 $q$（负电荷必须代负号）、电势差 $U_{AB}$（${\phi }_A<{\phi }_B$ 时为负值）必须连同符号一起代入运算，计算结果的正负号自动反映功的正负。

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等势面（Equipotential Surface）

电场中电势相等的各点所构成的曲面（或平面）叫作等势面。

1. 等势面的四大几何物理特性

1. 等势面上移动电荷不做功：在同一个等势面上任意移动电荷，由于 $U_{AB}={\phi }_A-{\phi }_B=0$，故静电力做的功严格为零（$W_{AB}=q{U}_{AB}=0$）；
2. 电场线与等势面处处正交：电场线必然处处垂直于等势面，且由电势高的等势面指向电势低的等势面；
3. 等势面绝不相交：若两个不同电势的等势面相交，交线上各点将出现两个不同的电势值，这在物理上是不可能的；
4. 疏密程度反映场强大小：对于电势差相等的相邻等势面（等差等势面），等势面越密集的地方，电场强度 $E$ 越大；等势面越稀疏的地方，场强 $E$ 越小。