02 · 万有引力定律与天体质量密度

万有引力定律的发现与月-地检验

1. 牛顿的科学猜想与推演

牛顿在思考行星绕太阳做圆周运动时：

• 由向心力公式 $F=m\frac{v^2}{r}=m\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$；
• 结合开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k⟹T^2=\frac{r^3}{k}$；
• 代入得太阳对行星的引力为：$F=4{\pi }^{2}k\frac{m}{r^2}\propto \frac{m}{r^2}$；
• 根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，行星对太阳也有引力，故引力也必然正比于太阳的质量 $M$，即：$F\propto \frac{Mm}{r^2}$。

2. 月-地检验（The Moon-Earth Test）

牛顿设想：地面物体受到的重力，与地球对月球的引力，是否是同一种性质的力？

• 地面物体自由落体加速度：$g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$，距离地心 $R_{\mathrm{地}}$；
• 月球绕地球公转轨道半径：$r\approx 60R_{\mathrm{地}}$；
• 若引力满足平方反比律，月球绕地球公转的向心加速度 $a_{\mathrm{月}}$ 应为地面的 $\frac{1}{{60}^2}=\frac{1}{3600}$：$$a_{\mathrm{月}}=\frac{g}{3600}\approx \frac{9.8}{3600}{\text{m/s}}^2\approx 2.72\times {10}^{-3}{\text{m/s}}^2$$
• 根据实际天文观测的月球公转周期 $T=27.3\text{天}$ 计算其向心加速度：$$a_{\mathrm{月}}=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 2.72\times {10}^{-3}{\text{m/s}}^2$$

结论：理论计算与实际天文测量高度吻合！牛顿成功将天上天体的运动与地上物体的下落统摄在同一种引力相互作用之下。

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万有引力定律与引力常量

1. 定律表述

自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

• 适用条件：
  1. 严格适用于两个质点之间的相互作用；
  2. 两个质量均匀分布的球体，也可以视为质点，此时 $r$ 为两个球心之间的距离；
  3. 一个质量分布均匀的球体与球外一个质点，$r$ 为球心到质点的距离。

2. 卡文迪许扭秤实验（称量地球的质量）

万有引力常数 $G$ 极小，常规宏观物体间的引力微乎其微。1798 年，英国物理学家卡文迪许（Cavendish）巧妙利用扭秤装置，通过石英丝的微小扭转和光尺放大法，首次精确测出了引力常量：

$$G=6.67\times {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$$

卡文迪许因此被誉为“第一个称出地球质量的人”。

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黄金代换式（Golden Substitution）

在天体表面，若忽略天体自转的影响，物体所受的万有引力近似等于天体表面重力：

$$G\frac{Mm}{R^2}=mg⟺GM=g{R}^2$$

• 物理内涵：只要已知天体的半径 $R$ 和天体表面重力加速度 $g$，即可消去不易直接测量的引力常量与天体质量的乘积 $GM$。
• 这是高考求解天体问题最常用、最核心的等价代换工具。

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天体质量与密度的计算模型

1. 环绕法（“已知环绕天体，求中心天体质量”）

设中心天体质量为 $M$，半径为 $R$。一质量为 $m$ 的卫星在轨道半径为 $r$ 处做匀速圆周运动，公转周期为 $T$：

根据万有引力提供向心力：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r⟹M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$$

IMPORTANT

重要认知结论： 采用环绕法只能求出中心天体的质量 $M$，绝对无法求出环绕卫星自身的质量 $m$（因为向心力方程两边的 $m$ 被完全约去）。

2. 天体平均密度 $\rho$ 的计算公式

天体体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$（$R$ 为中心天体自身半径）：

$$\rho =\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3\pi r^3}{G{T}^2{R}^3}$$

• 近地卫星极限特例（极其重要）： 当卫星沿着中心天体表面附近飞掠运行（即近地卫星，轨道半径 $r\approx R$）时：$$\rho =\frac{3\pi }{G{T}^2}$$高考结论：只要测得某天体的近地卫星运行周期 $T$，无需知道天体的质量和半径大小，即可直接精确算出该天体的平均密度！