考点 · 动量与能量综合三大经典模型

模型一：弹簧振子双滑块模型（弹簧连接体系统）

在光滑水平面上，用劲度系数为 $k$ 的轻质弹簧连接质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的两物体。现有一初动量注入系统（如外力冲击或给 $m_{1}$ 一个初速度 $v_{0}$ ）。

        v_0
    ┌────────┐      /\  /\  /\      ┌────────┐
    │  m_1   │─────/  \/  \/  \─────│  m_2   │  (光滑水平面)
    └────────┘                      └────────┘

1. 临界状态一：两滑块共速（弹性势能达到最大值）

动力学图景：在弹簧被压缩（或拉伸）的过程中，弹力使 $m_{1}$ 减速、使 $m_{2}$ 加速，两者速度逐渐接近；
极值判据：当两滑块速度相等（ $v_{1} = v_{2} = v_{共}$ ）的瞬间，弹簧具有最大压缩量（或最大拉伸量），此时系统的弹性势能达到最大值 $E_{p max}$ 。
守恒方程联立：
- 系统动量守恒： $m_{1} v_{0} = (m_{1} + m_{2}) v_{共} ⟹ v_{共} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$
- 系统机械能守恒： $\frac{1}{2} m_{1} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{共}^{2} + E_{p max}$
最大弹性势能解析式： $E_{p max} = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}^{2}$
TIP
弹簧系统的最大弹性势能，在数学形式上恰好等于以两物体初速度差 $v_{0}$ 发生完全非弹性碰撞所损失的动能！

2. 临界状态二：弹簧恢复原长（物块达到速度极值）

当弹簧由最大压缩状态反弹恢复至原长时，势能全部释放完毕，重新全部转化为两物体的动能；
等价性定理：弹簧恢复原长的瞬间，两物体的运动状态在定量上完全等价于发生了一次一维对心完全弹性碰撞！
恢复原长时两物体的瞬时速度： $v_{1}^{'} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}, v_{2}^{'} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$ 物体 $m_{2}$ 在此时刻获得第一阶段的最大加速度与最大速度。

模型二：光滑曲面小车模型（水平分动量守恒）

质量为 $M$ 的光滑凹形曲面小车静止在光滑水平地面上，小车圆弧高度为 $h$ 。质量为 $m$ 的光滑小球从小车顶端由静止释放：

     m (静止释放)
     |\
     | \  光滑曲面
   h |  \
     |   \
     +----\─────────┐
     │   小车 M      │ ---> 光滑地面
     └──────────────┘

1. 守恒规律的精细裁定

水平方向分动量守恒：小车与小球在水平方向上不受任何外力，故系统水平方向总动量时刻守恒（初始总动量为零）；
竖直方向动量不守恒：小球下滑过程中加速度具有竖直分量，系统受地面的支持力大于总重力，外力合力不为零；
系统整体机械能守恒：接触面均光滑，支持力属于系统内力，不做机械能损耗功。

2. 小球滑至最低点时的速度推导

设小球滑到最低点脱离曲面时，小球速度为 $v$ （水平向右），小车速度为 $V$ （水平向左）：

水平动量守恒： $m v - M V = 0 ⟹ V = \frac{m}{M} v$
系统机械能守恒： $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2}$
联立消去 $V$ ： $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M {(\frac{m}{M} v)}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + \frac{m}{M}) = \frac{1}{2} m \frac{M + m}{M} v^{2}$
解得滑至最低点的对地速度： $v = \sqrt{\frac{2 M g h}{m + M}}, V = \sqrt{\frac{2 m^{2} g h}{M (m + M)}}$

3. 上升到最高点临界共速

若小球以初速度冲上小车，当小球上升至小车曲面最高点时，小球在竖直方向相对小车静止，两者具有相同的水平速度 $v_{共}$ 。

模型三：子弹打木块模型与系统能量耗散机制

质量为 $m$ 的子弹以水平初速度 $v_{0}$ 射入静止在光滑水平面上质量为 $M$ 的木块，穿入木块并最终留在木块中。设相互作用阻力恒为 $f$ ，子弹射入木块的深度为 $d$ ，木块对地位移为 $s$ ：

1. 动量与运动学联立列式

系统动量守恒： $m v_{0} = (m + M) v_{共} ⟹ v_{共} = \frac{m}{m + M} v_{0}$
对子弹应用动能定理（子弹对地位移为 $s + d$ ）： $- f (s + d) = \frac{1}{2} m v_{共}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} --- (1)$
对木块应用动能定理（木块对地位移为 $s$ ）： $f \cdot s = \frac{1}{2} M v_{共}^{2} - 0 --- (2)$

2. 能量耗散核心结论

将式 (1) 与式 (2) 左右两边分别相加：

- f (s + d) + f s = [\frac{1}{2} (m + M) v_{共}^{2}] - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

- f \cdot d = Δ E_{k} ⟹ Q = f \cdot d = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{1}{2} (m + M) v_{共}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m M}{m + M} v_{0}^{2}

IMPORTANT

高考三大定量总结：

木块获得的动能：等于阻力乘以木块的对地位移 $s$ （ $E_{k M} = f \cdot s$ ）；
子弹损失的动能：等于阻力乘以子弹的对地位移 $s + d$ （ $Δ E_{k m} = f \cdot (s + d)$ ）；
系统转化的内能（生热量 $Q$ ）：等于阻力乘以两者之间的相对位移（深入深度 $d$ ）（ $Q = f \cdot d$ ）！

考点 · 动量与能量综合三大经典模型 ​

模型一：弹簧振子双滑块模型（弹簧连接体系统） ​

1. 临界状态一：两滑块共速（弹性势能达到最大值） ​

2. 临界状态二：弹簧恢复原长（物块达到速度极值） ​

模型二：光滑曲面小车模型（水平分动量守恒） ​

1. 守恒规律的精细裁定 ​

2. 小球滑至最低点时的速度推导 ​

3. 上升到最高点临界共速 ​

模型三：子弹打木块模型与系统能量耗散机制 ​

1. 动量与运动学联立列式 ​

2. 能量耗散核心结论 ​