02 · 带电粒子在电场中的偏转

粒子在偏转电场中的类平抛运动模型

质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带电粒子以初速度 $v_0$ 垂直电场线射入匀强偏转电场。设极板长度为 $L$，极板间距为 $d$，极板间偏转电压为 $U_2$。

1. 正交分解运动方程矩阵

运动方向	受力情况	加速度	$t$ 时刻速度	极板出射时的状态量
沿初速度方向 ($x$)	不受静电力 ($F_x=0$)	$a_x=0$	$v_x=v_0$（匀速运动）	穿越电场时间： $$t = \frac{L}{v_0}$$
垂直初速度方向 ($y$)	恒定静电力： $$F_y = qE = \frac{qU_2}{d}$$	$$a_y = \frac{qU_2}{md}$$	$$v_y = a_y t$$（初速为零匀加速）	竖直出射分速度： $$v_y = \frac{qU_2 L}{mdv_0}$$

2. 核心输出量公式推导

1. 侧移偏转位移 $y$（粒子离开电场时偏离中线的距离）：$$y=\frac{1}{2}{a}_y{t}^2=\frac{1}{2}\left(\frac{q{U}_2}{md}\right){\left(\frac{L}{v_0}\right)}^2=\frac{q{U}_2{L}^2}{2md{v}_0^2}$$
2. 偏转角 $\theta$（出射速度与初速度方向的夹角）：$$\tan \theta =\frac{v_y}{v_x}=\frac{q{U}_{2}L}{md{v}_0^2}$$
3. 粒子离开偏转电场时的合动能（动能定理）：$$E_k=E_{k0}+W_e=\frac{1}{2}m{v}_0^2+qEy=\frac{1}{2}m{v}_0^2+q\frac{U_2}{d}y$$

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核心几何定理：速度反向延长线必过极板水平中点

设粒子离开偏转极板时的瞬时速度切线反向延长，与中央轴线交于点 $P(x^{\prime },0)$：

• 在直角三角形中：$$\tan \theta =\frac{y}{L-x^{\prime }}$$
• 将偏转位移 $y=\frac{q{U}_2{L}^2}{2md{v}_0^2}$ 与 $\tan \theta =\frac{q{U}_{2}L}{md{v}_0^2}$ 代入：$$\frac{q{U}_{2}L}{md{v}_0^2}=\frac{\frac{q{U}_2{L}^2}{2md{v}_0^2}}{L-x^{\prime }}⟹1=\frac{L}{2(L-x^{\prime })}⟹L-x^{\prime }=\frac{L}{2}⟹x^{\prime }=\frac{L}{2}$$

IMPORTANT

极板中点出射定理：
做类平抛运动的带电粒子离开电场时，其速度的反向延长线必过偏转极板长度的几何中点 $(\frac{L}{2},0)$！
粒子离开电场后做匀速直线运动，打到距离极板右端为 $D$ 的荧光屏上的总侧移距离 $Y$ 为：

$$Y=(\frac{L}{2}+D)\tan \theta$$

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经典二级联动：“先加速后偏转”独立性奇迹

若粒子的初速度 $v_0$ 是由加速电压 $U_1$ 从静止开始加速获得的：

1. 加速阶段：$q{U}_1=\frac{1}{2}m{v}_0^2⟹m{v}_0^2=2q{U}_1$；
2. 联立代入偏转方程：
   • 偏转位移：$$y=\frac{q{U}_2{L}^2}{2d(m{v}_0^2)}=\frac{q{U}_2{L}^2}{2d(2q{U}_1)}=\frac{U_2{L}^2}{4d{U}_1}$$
   • 偏转角正切值：$$\tan \theta =\frac{q{U}_{2}L}{d(m{v}_0^2)}=\frac{q{U}_{2}L}{d(2q{U}_1)}=\frac{U_{2}L}{2d{U}_1}$$

TIP

高考物理的“独立性奇迹”：
在“先经同一加速电场加速、后经同一偏转电场偏转”的系统中，偏转距离 $y$ 和偏转角 $\theta$ 与粒子的质量 $m$、电荷量 $q$ 以及比荷 $\frac{q}{m}$ 完全无关！
只要带电粒子的极性相同，电子、质子、氘核、$\alpha$ 粒子的运动轨迹将完全重合，在荧光屏上汇聚于同一点！

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粒子不打在极板上的临界电压约束

带电粒子能顺利飞出偏转电场的几何充要条件是：离开极板时的偏转距离不超过极板间距的一半：

$$y\le \frac{d}{2}⟹\frac{U_2{L}^2}{4d{U}_1}\le \frac{d}{2}⟹U_2\le \frac{2d^2}{L^2}{U}_1$$

若偏转电压 $U_2$ 超过此临界阈值，粒子将在飞离电场前直接撞击极板被吸收。