01 · 电流与电阻定律

电流的形成与宏观量度

电荷的定向移动形成电流（Electric Current）。

1. 形成持续电流的充要条件

1. 导体内部存在可以自由移动的自由电荷（金属中的自由电子、电解质溶液中的正负离子、稀薄电离气体中的离子与电子）；
2. 导体两端存在持续维持的电势差（电压），由电源等外部能量转换装置提供。

2. 电流的宏观定义式

在物理学中，通过导体横截面的电荷量 $q$ 与通过这些电荷所用时间 $t$ 的比值叫作电流（通常简称为电流强度），记作 $I$：

$$I=\frac{q}{t}=\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }t}$$

• 标量性：电流是标量。虽然电流具有方向，但电流的合成遵循代数代数加减法（节点电流定律），绝不遵循平行四边形定则；
• 方向规定：正电荷定向移动的方向规定为电流的方向。在最常见的金属导体中，定向移动的是带负电的自由电子，因此自由电子的实际定向移动方向与物理规定的电流方向严格相反；
• 国际单位：安培（Ampere，符号 $\text{A}$），$1\text{A}=1\text{C/s}$。常用单位有毫安（$\text{mA}$）和微安（$\mu \text{A}$）。

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电流的微观表达式推导（柱体微元模型）

TIP

可汗学院直观微观图景：数电子
设有一段粗细均匀的导体，其横截面积为 $S$，导体单位体积内的自由电子数为 $n$（电子数密度），每个电子的电荷量为 $e$，电子定向移动的平均漂移速率为 $v$。

1. 柱体模型推导四步法

1. 微元距离：在微元时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内，电子沿导线定向移动的距离为：$$\mathrm{\Delta }l=v\mathrm{\Delta }t$$
2. 柱体体积：在这段时间内，能够穿过指定截面 $S$ 的所有电子，必定位于底面积为 $S$、高为 $\mathrm{\Delta }l$ 的虚拟圆柱体内：$$\mathrm{\Delta }V=S\cdot \mathrm{\Delta }l=Sv\mathrm{\Delta }t$$
3. 总电荷量：该柱体内的自由电子总数 $N=n\cdot \mathrm{\Delta }V=nSv\mathrm{\Delta }t$，其携带的总电荷量为：$$\mathrm{\Delta }q=Ne=neSv\mathrm{\Delta }t$$
4. 导出微观表达式：$$I=\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{neSv\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}⟹I=neSv$$

2. 导体内“三种速度”的核心辨析（极易混淆）

物理速度类型	物理本质	运动规律与特征	数量级大小
电子热运动平均速率	自由电子在金属晶格间杂乱无章的热碰撞	方向完全随机各向同性，宏观不形成净电荷流动	$\sim {10}^5\text{m/s}$（极高）
电子定向漂移速率 $v$	自由电子在静电力驱动下的宏观定向平均速度	形成宏观电流的决定速度（$I=neSv$）	$\sim {10}^{-5}\sim {10}^{-4}\text{m/s}$（极慢，慢如蜗牛！）
电场建立与传播速度	闭合电路瞬间导线内建立静电场的速度	属于电磁波的传播速度，支配灯泡瞬间点亮	光速 $c\approx 3\times {10}^8\text{m/s}$

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电阻定律与电阻率

1. 电阻的比值定义式（伏安特性）

导体两端的电压 $U$ 与通过导体的电流 $I$ 的比值叫作导体的电阻（Resistance），记作 $R$：

$$R=\frac{U}{I}$$

• 国际单位：欧姆（$\mathrm{\Omega }$），$1\mathrm{\Omega }=1\text{V/A}$。

2. 电阻定律（决定式）

实验表明，粗细均匀的导体，其电阻 $R$ 与它的长度 $l$ 成正比，与它的横截面积 $S$ 成反比，还与导体的材料及温度有关：

$$R=\rho \frac{l}{S}$$

• $\rho$（电阻率）：反映材料本身导电性能优劣的物理量。国际单位为欧·米（$\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}$）；
• $\rho$ 越小，说明该材料导电性能越好（如银 $\rho \approx 1.6\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}$，铜 $\rho \approx 1.7\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \text{m}$，常用作优质导线）；
• 康铜、锰铜合金的电阻率极大且随温度变化极小，常用于制作标准定值精密电阻。

3. 电阻率与温度的定量关系

• 金属导体：电阻率 $\rho$ 随温度升高而增大（温度升高，金属离子热振动加剧，对电子定向移动的碰撞阻碍增强）；
• 半导体（如硅、锗）：电阻率 $\rho$ 随温度升高而显著减小（热激发使内部自由载流子浓度指数级倍增），广泛应用于制作热敏电阻；
• 超导现象：当某些合金材料冷却到某一特定极低临界温度 $T_c$ 时，其电阻率会骤降为绝对的零（完全抗磁性与零电阻），在磁悬浮列车与受控核聚变强磁场中有极高战略价值。