03 · 速度与加速度

速度：位置变化的快慢

1. 速度（Velocity）

• 物理意义：描述物体位置变化快慢与方向的物理量。
• 定义式：$$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}}{\mathrm{\Delta }t}$$
• 国际单位：米每秒（$\text{m/s}$ 或 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$），常用单位还有千米每小时（$\text{km/h}$），$1\text{m/s}=3.6\text{km/h}$。
• 矢量性：方向即位移 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}$ 的方向，即质点运动的方向。

图 1.3-1 汽车速度计直接读取的数值是瞬时速率（标量）（人教版教材插图）

2. 平均速度与瞬时速度

类别	物理定义	数学表征	几何直观（$x-t$ 图像）
平均速度（Average Velocity）	质点在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值	$\overline{\overrightarrow{v}}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}}{\mathrm{\Delta }t}$	$x-t$ 图像上连接两点割线的斜率
瞬时速度（Instantaneous Velocity）	运动物体在某一时刻（或经过某一位置）的速度	$\overrightarrow{v}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{x}}{\mathrm{d}t}$	$x-t$ 图像上该时刻切线的斜率

图 1.3-2 微积分导数视角：当 Δt → 0 时，割线 PQ 旋转逼近该点的切线，切线斜率即瞬时速度

TIP

可汗学院极限思想（Calculus Intuition） 可汗学院生动地将瞬时速度解释为：如果你把相机快门时间缩短到无限趋近于零（$\mathrm{\Delta }t\to 0$），汽车在这极短瞬间的位移 $\mathrm{\Delta }x$ 除以时间 $\mathrm{\Delta }t$，就凝固成了仪表盘在这一刹那显示的指针读数。数学上即位移对时间的导数。

图 1.3-3 借助位移传感器与计算机直接采集微元数据绘制实时速度图象（人教版教材插图）

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加速度：速度变化的快慢

1. 加速度（Acceleration）

• 物理意义：描述物体速度变化快慢与变化方向的物理量，即速度对时间的变化率。
• 定义式：$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0}{\mathrm{\Delta }t}$$
• 微元微积分形式：$$\overrightarrow{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\overrightarrow{x}}{\mathrm{d}{t}^2}$$
• 国际单位：米每二次方秒（${\text{m/s}}^2$ 或 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$）。
• 矢量性：加速度的方向恒与速度变化量 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ 的方向一致。

2. 物体加速与减速的本质判据

图 1.3-4 加速与减速的本质判据：只要 a 与 v 同向即加速；只要 a 与 v 反向即减速

一个物体是在做“加速”还是“减速”，并不取决于 $a$ 是正还是负，也不取决于 $a$ 在增大还是减小，而是取决于 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 的方向关系：

• 若 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 同向（$a\cdot v>0$）：即使加速度 $a$ 在逐渐减小，物体的速度依然在增加（只是增加得越来越慢，直到 $a=0$ 时速度达到极大值）。
• 若 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 反向（$a\cdot v<0$）：即使加速度 $a$ 在逐渐增大，物体的速度依然在减小（减小得越来越快，直到速度减为 $0$ 后开始反向运动）。

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$v$、$\mathrm{\Delta }v$、$a$ 核心概念辨析

高考经典陷阱：混淆“速度大”、“速度变化大”与“速度变化快”。

概念	物理意义	决定因素	极值特例说明
速度 $v$	运动的快慢和方向	初始条件、受力历史	高铁高速匀速行驶（$350\text{km/h}$）：$v$ 很大，但 $a=0$
速度变化量 $\mathrm{\Delta }v$	速度改变了多少	$\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t$	飞机长距离加速，历时很长：$\mathrm{\Delta }v$ 很大，但 $a$ 可能很小
加速度 $a$	速度改变的快慢	牛顿第二定律 $a=\frac{F_{\mathrm{合}}}{m}$	炮弹发射瞬间刚点火：$v\approx 0$，但火药合力极大，故 $a$ 极大

WARNING

高考常考辨析正误

• [×] 加速度为正，物体一定做加速运动。（错！若初速度为负，加速度为正表示二者反向，物体做减速运动）
• [×] 物体的加速度正在减小，其速度不可能增加。（错！只要加速度与速度同向，速度就会持续增加）
• [√] 速度为零时，加速度可以不为零（如竖直上抛最高点、单摆摆到最高点瞬间）。
• [√] 加速度很大，速度可能为零；速度很大，加速度也可以为零。