02 · 串联电路、并联电路与电表改装

串联电路与并联电路的基本规律矩阵

由欧姆定律与电荷、能量守恒定律，串联与并联电路的物理量关系呈现出高度的对偶美感：

物理维度	串联电路（Series Circuit）	并联电路（Parallel Circuit）
电流关系	电流处处严格相等： $I = I_{1} = I_{2} = \dots = I_{n}$	总电流等于各支路电流之和： $I = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{n}$
电压关系	总电压等于各部分电压之和： $U = U_{1} + U_{2} + \dots + U_{n}$	各支路两端的电压严格相等： $U = U_{1} = U_{2} = \dots = U_{n}$
等效总电阻	总电阻等于各分电阻之和： $R = R_{1} + R_{2} + \dots + R_{n}$	总电阻的倒数等于各支路电阻倒数和： $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}$
双电阻特例	$R = R_{1} + R_{2}$	$R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
分配规律	正比分压：各电阻电压与电阻成正比 $\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$	反比分流：各支路电流与电阻成反比 $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$
功率分配	正比分功：电阻越大，消耗功率越大 $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$	反比分功：电阻越小，消耗功率越大 $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$

NOTE

并联电阻的三大定性定理：

常用灵敏电流计（表头）是利用通电线圈在磁场中受安培力偏转的原理制成的。其核心电学参数有三个：

表头的满偏电流 $I_{g}$ 和满偏电压 $U_{g}$ 都极小，无法直接测量日常电路中的强电流和大电压，必须通过串、并联电阻对其量程进行扩大量程改装：

电表改装原理：并联分流改电流表 vs 串联分压改电压表

核心需求：要将量程为 $I_{g}$ 的表头改装为量程为 $I$ （ $I > I_{g}$ ）的电流表，需要分担掉多余的电流 $I - I_{g}$ ；
连接方式：给表头并联一个较小的分流电阻 $R_{p}$ ；
方程推导：两支路电压相等： $I_{g} R_{g} = (I - I_{g}) R_{p}$
分流电阻计算式： $R_{p} = \frac{I_{g} R_{g}}{I - I_{g}} = \frac{R_{g}}{\frac{I}{I_{g}} - 1} = \frac{R_{g}}{n - 1}$ （式中 $n = \frac{I}{I_{g}}$ 为量程扩大的倍数）；
改装后电流表的总内阻： $R_{A} = \frac{R_{g} R_{p}}{R_{g} + R_{p}} = \frac{R_{g}}{n}$
物理本质：理想电流表内阻应为 $0$ 。改装后电流表内阻 $R_{A}$ 极小，串联入待测电路时对原电路的分压干扰极小。

核心需求：要将量程为 $U_{g}$ 的表头改装为量程为 $U$ （ $U > U_{g}$ ）的电压表，需要分担掉多余的电压 $U - U_{g}$ ；
连接方式：给表头串联一个较大的分压电阻 $R_{s}$ ；
方程推导：总电压等于各部分电压之和： $U = I_{g} (R_{g} + R_{s}) = U_{g} + I_{g} R_{s}$
分压电阻计算式： $R_{s} = \frac{U - U_{g}}{I_{g}} = \frac{U}{I_{g}} - R_{g} = (n - 1) R_{g}$ （式中 $n = \frac{U}{U_{g}}$ 为电压量程扩大的倍数）；
改装后电压表的总内阻： $R_{V} = R_{g} + R_{s} = n R_{g}$
物理本质：理想电压表内阻应为 $\infty$ 。改装后电压表内阻 $R_{V}$ 极大，并联在待测元件两端时从主电路分走的分流漏电极小。

改装完成的电表必须用标准表进行校对核准：

电流表校准误差：
- 若实测读数比标准表读数偏小，说明流入表头的电流偏小、并联电阻 $R_{p}$ 分流过多 $⟹ R_{p}$ 阻值偏小，应换用或串联一个微小电阻增大 $R_{p}$ ；
- 若读数偏大，说明 $R_{p}$ 分流不足 $⟹ R_{p}$ 阻值偏大，应并联一个大电阻微调减小 $R_{p}$ 。
电压表校准误差：
- 若实测读数比标准表读数偏小，说明串联分压电阻 $R_{s}$ 分压过多，表头两端电压过小 $⟹ R_{s}$ 偏大，应微调减小 $R_{s}$ ；
- 若读数偏大，说明表头分压偏多 $⟹ R_{s}$ 偏小，应微调增大 $R_{s}$ 。