02 · 串联电路、并联电路与电表改装

串联电路与并联电路的基本规律矩阵

由欧姆定律与电荷、能量守恒定律，串联与并联电路的物理量关系呈现出高度的对偶美感：

物理维度	串联电路（Series Circuit）	并联电路（Parallel Circuit）
电流关系	电流处处严格相等： $$I = I_1 = I_2 = \dots = I_n$$	总电流等于各支路电流之和： $$I = I_1 + I_2 + \dots + I_n$$
电压关系	总电压等于各部分电压之和： $$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$$	各支路两端的电压严格相等： $$U = U_1 = U_2 = \dots = U_n$$
等效总电阻	总电阻等于各分电阻之和： $$R = R_1 + R_2 + \dots + R_n$$	总电阻的倒数等于各支路电阻倒数和： $$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$$
双电阻特例	$$R = R_1 + R_2$$	$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$
分配规律	正比分压：各电阻电压与电阻成正比 $$\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$$	反比分流：各支路电流与电阻成反比 $$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$$
功率分配	正比分功：电阻越大，消耗功率越大 $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2}$$	反比分功：电阻越小，消耗功率越大 $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$$

NOTE

并联电阻的三大定性定理：

1. “越并越小”定理：并联总电阻严格小于其中任何一个并联支路的电阻（$R<min\{R_i\}$）；
2. “同增同减”定理：电路中任何一个支路的电阻增大，系统的等效总电阻必然增大；
3. 极值主导性：若一个大电阻与一个小电阻并联（$R_1\gg R_2$），等效总电阻无限逼近较小的电阻 $R\approx R_2$。

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表头 G（小量程灵敏电流计）的三大参数

常用灵敏电流计（表头）是利用通电线圈在磁场中受安培力偏转的原理制成的。其核心电学参数有三个：

1. 满偏电流 $I_g$：指针偏转到最大刻度时的电流（量程通常极小，为 $100\mu \text{A}\sim 5\text{mA}$）；
2. 内阻 $R_g$：表头线圈自身的内阻（通常为几十欧至数百欧）；
3. 满偏电压 $U_g$：指针满偏时表头两端的电压，由欧姆定律决定：$$U_g=I_g{R}_g$$

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电表改装的数学与动力学推导

表头的满偏电流 $I_g$ 和满偏电压 $U_g$ 都极小，无法直接测量日常电路中的强电流和大电压，必须通过串、并联电阻对其量程进行扩大量程改装：

1. 改装为大量程电流表（并联小电阻分流）

• 核心需求：要将量程为 $I_g$ 的表头改装为量程为 $I$（$I>I_g$）的电流表，需要分担掉多余的电流 $I-I_g$；
• 连接方式：给表头并联一个较小的分流电阻 $R_p$；
• 方程推导： 两支路电压相等：$$I_g{R}_g=(I-I_g)R_p$$
• 分流电阻计算式：$$R_p=\frac{I_g{R}_g}{I-I_g}=\frac{R_g}{\frac{I}{I_g}-1}=\frac{R_g}{n-1}$$（式中 $n=\frac{I}{I_g}$ 为量程扩大的倍数）；
• 改装后电流表的总内阻：$$R_A=\frac{R_g{R}_p}{R_g+R_p}=\frac{R_g}{n}$$

  物理本质：理想电流表内阻应为 $0$。改装后电流表内阻 $R_A$ 极小，串联入待测电路时对原电路的分压干扰极小。

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2. 改装为大量程电压表（串联大电阻分压）

• 核心需求：要将量程为 $U_g$ 的表头改装为量程为 $U$（$U>U_g$）的电压表，需要分担掉多余的电压 $U-U_g$；
• 连接方式：给表头串联一个较大的分压电阻 $R_s$；
• 方程推导： 总电压等于各部分电压之和：$$U=I_g(R_g+R_s)=U_g+I_g{R}_s$$
• 分压电阻计算式：$$R_s=\frac{U-U_g}{I_g}=\frac{U}{I_g}-R_g=(n-1)R_g$$（式中 $n=\frac{U}{U_g}$ 为电压量程扩大的倍数）；
• 改装后电压表的总内阻：$$R_V=R_g+R_s=n{R}_g$$

  物理本质：理想电压表内阻应为 $\mathrm{\infty }$。改装后电压表内阻 $R_V$ 极大，并联在待测元件两端时从主电路分走的分流漏电极小。

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电表校准与改装误差分析

改装完成的电表必须用标准表进行校对核准：

1. 电流表校准误差：
   • 若实测读数比标准表读数偏小，说明流入表头的电流偏小、并联电阻 $R_p$ 分流过多 $⟹R_p$ 阻值偏小，应换用或串联一个微小电阻增大 $R_p$；
   • 若读数偏大，说明 $R_p$ 分流不足 $⟹R_p$ 阻值偏大，应并联一个大电阻微调减小 $R_p$。
2. 电压表校准误差：
   • 若实测读数比标准表读数偏小，说明串联分压电阻 $R_s$ 分压过多，表头两端电压过小 $⟹R_s$ 偏大，应微调减小 $R_s$；
   • 若读数偏大，说明表头分压偏多 $⟹R_s$ 偏小，应微调增大 $R_s$。