05 · 电容器与电容

电容器与电容的概念

1. 电容器的结构与工作过程

• 构造：任何两个彼此绝缘又相隔很近的导体，都可以构成一个电容器（Capacitor）。两导体称为电容器的两个极板，中间填充的绝缘材料称为电介质；
• 充电：将电容器两极板接在电源两极，两板分别带上等量异种电荷的过程。充电后电容器内部建立静电场，储存电场能；
• 电容器的电荷量 $Q$：指其中任意一个极板所带电荷量的绝对值（而不是两板电荷代数和）。

2. 电容的比值定义式

电容器所带的电荷量 $Q$ 与电容器两极板之间的电势差 $U$ 的比值，叫作电容器的电容（Capacitance），用字母 $C$ 表示：

$$C=\frac{Q}{U}=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }U}$$

• 物理意义：描述电容器容纳电荷本领大小的物理量；
• 国际单位：法拉（Farad，符号 $\text{F}$）。实用中单位偏大，常用微法（$\mu \text{F}$）和皮法（$\text{pF}$）：$$1\text{F}={10}^6\mu \text{F}={10}^{12}\text{pF}$$
• 比值定义特性：电容 $C$ 只由电容器本身的材料、几何构造决定，与电容器是否带电、带电多少、电压高低完全无关。

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平行板电容器的决定式

对于最常见的由两块相互平行的金属薄板构成的平行板电容器，其实验与理论推导表明，其电容满足：

$$C=\frac{{\epsilon }_{r}S}{4\pi kd}$$

• ${\epsilon }_r$（相对介电常数）：介质材料的电学特性（真空 ${\epsilon }_r=1$，空气略大于 $1$ 近似为 $1$，绝缘陶瓷、石蜡、塑料介质 ${\epsilon }_r>1$）；
• $S$（正对面积）：两平行金属板有效相互重叠覆盖的面积；
• $d$（极板间距）：两平行金属板之间的空间垂直距离；
• $k$：静电力常量。

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平行板电容器两大动态分析模型（高考必考）

动态分析题的关键在于：准确判定哪一个物理量在变化过程中保持恒定。

动态模型一：电容器始终与恒压电源相连（$U$ 保持恒定）

• 恒定条件：开关闭合且保持连接，极板间电势差恒等于电源电动势，$U=\text{常数}$；
• 各物理量链式因果推导：
  1. 间距 $d$ 增大：$$C\downarrow ⟹Q=CU\downarrow \text{（电荷流回电源，电容器放电）}⟹E=\frac{U}{d}\downarrow$$
  2. 正对面积 $S$ 减小：$$C\downarrow ⟹Q=CU\downarrow ⟹E=\frac{U}{d}\text{（因 }U,d\text{ 均未变，场强 }E\text{ 恒定不变！）}$$
  3. 插入电介质（${\epsilon }_r$ 增大）：$$C\uparrow ⟹Q=CU\uparrow \text{（电源继续向电容充电）}⟹E=\frac{U}{d}\text{（不变）}$$

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动态模型二：电容器充电后断开电源（$Q$ 保持恒定）

• 恒定条件：充电完成后切断开关，两极板处于孤立绝缘状态，极板所带电量 $Q=\text{常数}$；
• 场强 $E$ 的独立性绝杀推导： 将 $C=\frac{{\epsilon }_{r}S}{4\pi kd}$ 与 $U=\frac{Q}{C}$ 代入电场强度定义式：$$E=\frac{U}{d}=\frac{\frac{Q}{C}}{d}=\frac{Q}{Cd}=\frac{Q}{\left(\frac{{\epsilon }_{r}S}{4\pi kd}\right)d}=\frac{4\pi kQ}{{\epsilon }_{r}S}$$

  IMPORTANT

  极度重要的高考黄金结论：
  当电容器与电源断开（$Q$ 恒定）时，极板间的电场强度 $E$ 与极板间距 $d$ 完全无关！
  只要正对面积 $S$ 和电介质不变，无论怎样拉大或推近两极板（改变 $d$），板间的匀强场强 $E$ 恒定保持不变！原先在板间静止悬浮的带电微粒依然保持静止。

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静电计（指针式验电器）的测量原理

• 构造：金属球、金属杆与指针相连，金属外壳绝缘并接地；
• 物理量度：静电计指针张开的角度，定量反映静电计金属球与外壳之间的电势差 $U$ 的大小；
• 连线方式：将静电计金属球接电容器正极板，外壳接负极板（并接地）。此时指针偏角越大，表明电容器两板间的电势差 $U$ 越大。