01 · 电荷守恒与库仑定律

电荷与元电荷

自然界中只存在两种电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷，被毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
元电荷（Elementary Charge）：一个电子或质子所带电荷量的绝对值称为元电荷，用 $e$ 表示： $e = 1.602 \times 10^{- 19} C$
- 电荷量子化：实验表明，任何带电体所带的电荷量都是元电荷 $e$ 的整数倍，电荷量是量子化（不连续）的。
- 密立根通过著名的油滴实验首次精确测定了元电荷 $e$ 的数值。
比荷（Specific Charge）：带电粒子的电荷量与它的质量之比 $\frac{q}{m}$ 称为比荷（或荷质比）。电子的比荷为 $\frac{e}{m_{e}} \approx 1.76 \times 10^{11} C/kg$ 。

起电的本质都是电子在物体之间或物体内部的转移，绝非创造了电荷：

摩擦起电：两种不同材料相互摩擦时，对核外电子束缚能力较弱的物体失去电子而带正电，束缚能力强的物体得到电子带等量负电；
接触起电：带电体与不带电导体接触，自由电子发生转移；
- 完全相同的金属球接触后电荷分配律：
  - 若两球带同种电荷：接触后两球平分总电量： $q_{1}^{'} = q_{2}^{'} = \frac{q_{1} + q_{2}}{2}$
  - 若两球带异种电荷：接触后正负电荷先完全中和，剩余净电荷再由两球平分： $q_{1}^{'} = q_{2}^{'} = \frac{| q_{1} - q_{2} |}{2}$
感应起电：将带电体移近不带电的导体，导体内的自由电子在库仑力作用下重新分布，导致近端感应出异种电荷，远端感应出同种电荷。

电荷既不能创生，也不能消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在任何物理过程中，系统的电荷代数和保持不变。

法国物理学家库仑在 1785 年通过精密的扭秤实验发现了静止点电荷之间的相互作用规律： 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比；作用力的方向在它们的连线上。

F = k \frac{| q_{1} q_{2} |}{r^{2}}

静电力常量： $k = 8.98755 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2} \approx 9.0 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ ；
点电荷（Point Charge）：一种理想化物理模型。当带电体本身的形状和线度远小于它们之间的相互距离，以至于电荷分布对相互作用力的影响可忽略不计时，即可视为点电荷。

WARNING

库仑公式的数学极限与物理真实：

库仑定律的严格适用条件是：真空、静止、点电荷；
当两个带电导体球的距离 $r \to 0$ 时，不能依据公式断言库仑力 $F \to \infty$ ！因为当距离极近时，带电体绝不能再视为“点电荷”，导体球上的电荷会发生显著的极化感应再分布（同种电荷互相排斥分布在远端，实际中心距离大于球心距；异种电荷互相吸引聚集在近端，实际中心距离小于球心距）。

在光滑绝缘水平面上放置三个点电荷 $A, B, C$ ，若仅在彼此库仑力作用下三个点电荷均处于静止平衡状态：

三点电荷同一直线平衡口诀与力学模型

铁律一：“两同夹一异”
- 中间电荷受两侧电荷的电场力必须方向相反才能抵消，故两侧电荷的电性必须相同，中间电荷的电性必然与两侧电荷相反；
铁律二：“两大夹一小”
- 设两端电荷为 $Q_{A}, Q_{B}$ （距离为 $L$ ），中间电荷为 $q_{C}$ （距 $A$ 为 $r_{1}$ ，距 $B$ 为 $r_{2}$ ）：对端点电荷 $A$ 平衡： $k \frac{Q_{A} q_{C}}{r_{1}^{2}} = k \frac{Q_{A} Q_{B}}{L^{2}} ⟹ q_{C} = Q_{B} {(\frac{r_{1}}{L})}^{2} < Q_{B}$ ；故中间电荷的电荷量绝对值必然小于两端任意一个电荷的电荷量；
铁律三：“近小远大”
- 对中间电荷 $C$ 平衡： $k \frac{Q_{A} q_{C}}{r_{1}^{2}} = k \frac{Q_{B} q_{C}}{r_{2}^{2}} ⟹ \frac{Q_{A}}{r_{1}^{2}} = \frac{Q_{B}}{r_{2}^{2}} ⟹ \frac{r_{1}}{r_{2}} = \sqrt{\frac{Q_{A}}{Q_{B}}}$ ；
- 电量较小的一端，距离 $r$ 必然较小；电量较大的一端，距离必然较远。即中间电荷必须靠近电量较小的一侧。