04 · 反冲运动与火箭

反冲运动的定义与物理本质

如果一个静止的物体在内部巨大相互作用力（内力）的作用下分裂为两部分，一部分向某一方向运动，另一部分必然向相反的方向运动。这种现象叫作反冲运动（Recoil Motion）。

设系统初始处于静止状态（总动量为零），在内力作用下分裂为质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的两部分，分裂后速度分别为 ${\vec{v}}_{1}$ 和 ${\vec{v}}_{2}$ ：由动量守恒定律：

0 = m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2} ⟹ {\vec{v}}_{2} = - \frac{m_{1}}{m_{2}} {\vec{v}}_{1}

火箭是反冲运动在现代航天科技中最辉煌的应用。与喷气式飞机依赖大气吸入空气不同，火箭自带氧化剂与燃烧剂，能够在无空气的高真空宇宙太空中自主加速推进。

反冲运动与人船模型

设火箭在某一时刻总质量为 $M$ ，对地速度为 $v$ 。在微元时间 $d t$ 内，火箭向后以相对于火箭的喷气速度 $u$ 喷出质量为 $d m$ 的高温燃气（对地速度为 $v - u$ ），火箭主体质量变为 $M - d m$ ，对地速度增加到 $v + d v$ ：根据系统动量守恒：

M v = (M - d m) (v + d v) + d m (v - u)

展开并忽略二阶微元 $d m \cdot d v$ ：

M v = M v + M d v - v d m - d m \cdot d v + v d m - u d m ⟹ M d v = u d m

两边同除以 $M$ 并积分：

\int_{v_{0}}^{v} d v = u \int_{M_{0}}^{M} \frac{- d M}{M} ⟹ v - v_{0} = u \ln (\frac{M_{0}}{M})

这就是著名的齐奥尔科夫斯基火箭方程（Tsiolkovsky Rocket Equation）！

喷气速度 $u$ ：喷气速度越大，火箭最终获得的速度越大。目前现代液体火箭的喷气速度通常在 $3000 \sim 4500 m/s$ ；
质量比（Mass Ratio） $\frac{M_{0}}{M}$ ：火箭发射时的初始总质量 $M_{0}$ 与燃料耗尽后空壳质量 $M$ 的比值。
- 由于对数函数的增长极其缓慢，单级火箭由于箭体材料结构强度的限制，质量比很难突破 $10$ （最大速度约 $10 km/s$ ，难以摆脱太阳引力）；
- 多级火箭方案：为了达到更高速度，现代宇宙航行采用多级火箭设计。每一级燃料烧完后立即抛掉沉重的外壳发动机死重，极大地提升了后续各级的质量比，从而使探测器能够轻松飞向月球、火星与太阳系深处。

在光滑水面上漂浮着一只长为 $L$ 、质量为 $M$ 的小船，质量为 $m$ 的人从船头走到船尾。求人与船相对于水面（地面参考系）的位移各为多大。

系统动量守恒：人与船组成的系统在水平方向上不受任何外力，初始系统静止，故水平总动量时刻恒为零： $m v_{1} (t) - M v_{2} (t) = 0 ⟹ m v_{1} (t) = M v_{2} (t)$
微元累积积分：在全过程中，两边对时间 $t$ 积分： $\int_{0}^{t} m v_{1} (t) d t = \int_{0}^{t} M v_{2} (t) d t ⟹ m x_{1} = M x_{2}$ 即：在任何微小时间或全过程中，人对地的位移 $x_{1}$ 与船对地的位移 $x_{2}$ 严格满足质量反比守恒！
几何相对位移约束：人从船头走到船尾，人相对于船的相对位移等于船长 $L$ ： $x_{1} + x_{2} = L$
联立求解： $m x_{1} = M (L - x_{1}) ⟹ x_{1} = \frac{M}{m + M} L (人对地位移)$ $x_{2} = \frac{m}{m + M} L (船对地位移)$

TIP

人船模型秒杀记忆法则：
谁的位移，分子就是对方的质量！

人的对地位移： $x_{人} = \frac{M_{船}}{m_{人} + M_{船}} L$
船的对地位移： $x_{船} = \frac{m_{人}}{m_{人} + M_{船}} L$
此公式对人爬气球软梯、小球在半圆形光滑槽中滑到底部、两物体由弹簧推开等模型完全普适。