02 · 动量守恒定律

系统、内力与外力

在应用守恒定律之前，必须严谨界定物理系统的边界：

系统（System）：存在相互作用的两个或两个以上物体所构成的力学集合体；
内力（Internal Forces）：系统内部各物体之间的相互作用力。
- 核心性质：根据牛顿第三定律，系统内部的内力总是成对出现、大小相等、方向相反。因此，系统所有内力的矢量和恒等于零（ $\sum {\vec{F}}_{内} \equiv \vec{0}$ ），内力绝不能改变系统整体的总动量！
外力（External Forces）：系统以外的物体对系统内部物体施加的作用力。

设系统由两个相互碰撞的物体 $A$ （质量 $m_{1}$ ）和 $B$ （质量 $m_{2}$ ）组成，碰撞前速度分别为 ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}$ ，碰撞后速度分别为 ${\vec{v}}_{1}^{'}, {\vec{v}}_{2}^{'}$ ：

在极短的碰撞时间 $Δ t$ 内，两物体受到彼此的碰撞内力分别为 ${\vec{F}}_{21}$ （ $B$ 对 $A$ ）和 ${\vec{F}}_{12}$ （ $A$ 对 $B$ ）；
分别对两物体应用动量定理：
- 对物体 $A$ ： ${\vec{F}}_{21} Δ t = m_{1} {\vec{v}}_{1}^{'} - m_{1} {\vec{v}}_{1}$
- 对物体 $B$ ： ${\vec{F}}_{12} Δ t = m_{2} {\vec{v}}_{2}^{'} - m_{2} {\vec{v}}_{2}$
根据牛顿第三定律： ${\vec{F}}_{21} = - {\vec{F}}_{12} ⟹ {\vec{F}}_{21} + {\vec{F}}_{12} = \vec{0}$ ；
将两式相加： $({\vec{F}}_{21} + {\vec{F}}_{12}) Δ t = (m_{1} {\vec{v}}_{1}^{'} + m_{2} {\vec{v}}_{2}^{'}) - (m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2}) = \vec{0}$ $∴ m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2} = m_{1} {\vec{v}}_{1}^{'} + m_{2} {\vec{v}}_{2}^{'}$

即系统的总动量在相互作用前后保持恒定不变！

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。

守恒层级	成立判据与物理条件	适用典型物理场景
一、严格守恒	系统完全不受外力，或者系统所受合外力严格为零（ $\sum {\vec{F}}_{外} = \vec{0}$ ）。	冰面滑冰者互推、光滑水平面上的两滑块弹簧系统。
二、近似守恒	系统所受合外力不为零，但相互作用的内力远大于外力（ $F_{内} ≫ F_{外}$ ），且作用时间 $Δ t$ 极短，外力的冲量 $F_{外} Δ t \approx \vec{0}$ 。	爆炸、枪炮射击、高速碰撞、微粒散射。在几毫秒内，重力和摩擦力冲量几乎为零。
三、单方向（分动量）守恒	系统整体所受合外力不为零，但在某一特定方向（如水平 $x$ 轴）上合外力为零（ $\sum F_{外 x} = 0$ ）。	滑块沿斜面下滑、抛体在空中水平爆炸。虽然竖直方向受重力和支持力不平衡，但水平方向总动量严格守恒！

状态式： $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = p_{1}^{'} + p_{2}^{'} + \dots + p_{n}^{'} (即 {\vec{p}}_{初} = {\vec{p}}_{末})$
转移式（增减守恒）： $Δ {\vec{p}}_{1} = - Δ {\vec{p}}_{2} (即 Δ p_{1 增} = Δ p_{2 减})$ 系统内一部分动量的增加量，严格等于其余部分动量的减少量。
变化量式： $Δ {\vec{p}}_{总} = \vec{0}$
时间积分位移式（人船模型微元累积）：若系统由两静止物体组成（初始总动量为零），由于任一瞬时 $m_{1} v_{1} (t) = m_{2} v_{2} (t)$ ：两边对时间积分： $\int m_{1} v_{1} d t = \int m_{2} v_{2} d t$ ，得到空间位移守恒定律： $m_{1} x_{1} = m_{2} x_{2}$
- 质量大的物体移动距离小，质量小的物体移动距离大；
- 极其适用于求解“人走船退”、“人在气球软梯上爬行”、“小车内滑块滑动”等无摩擦系统的空间相对位移。

WARNING

高考常考认知误区

[×] “只要系统内有摩擦力，系统的动量就一定不守恒。”（大错特错！摩擦力如果是系统内部各物体间的相互作用力（内力），它只会使系统的机械能转化为内能耗散，但对系统总动量没有任何破坏作用，动量依然严格守恒！）
[×] “在斜面上滑下的小球和小车系统，动量在任何方向都守恒。”（错误！竖直方向支持力与重力合力不为零，只有在水平方向不受外力时，水平方向分动量守恒）
[√] 动量守恒定律不仅适用于低速宏观机械运动，而且在高速相对论物理、微观量子物理中依然严格普适，是自然界最基本的守恒定律之一。