02 · 动量守恒定律

系统、内力与外力

在应用守恒定律之前，必须严谨界定物理系统的边界：

• 系统（System）：存在相互作用的两个或两个以上物体所构成的力学集合体；
• 内力（Internal Forces）：系统内部各物体之间的相互作用力。
  • 核心性质：根据牛顿第三定律，系统内部的内力总是成对出现、大小相等、方向相反。因此，系统所有内力的矢量和恒等于零（$\sum {\overrightarrow{F}}_{\text{内}}\equiv \mathbf{0}$），内力绝不能改变系统整体的总动量！
• 外力（External Forces）：系统以外的物体对系统内部物体施加的作用力。

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动量守恒定律的推导

设系统由两个相互碰撞的物体 $A$（质量 $m_1$）和 $B$（质量 $m_2$）组成，碰撞前速度分别为 ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$，碰撞后速度分别为 ${\overrightarrow{v}}_1^{\prime },{\overrightarrow{v}}_2^{\prime }$：

1. 在极短的碰撞时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内，两物体受到彼此的碰撞内力分别为 ${\overrightarrow{F}}_{21}$（$B$ 对 $A$）和 ${\overrightarrow{F}}_{12}$（$A$ 对 $B$）；
2. 分别对两物体应用动量定理：
   • 对物体 $A$：${\overrightarrow{F}}_{21}\mathrm{\Delta }t=m_1{\overrightarrow{v}}_1^{\prime }-m_1{\overrightarrow{v}}_1$
   • 对物体 $B$：${\overrightarrow{F}}_{12}\mathrm{\Delta }t=m_2{\overrightarrow{v}}_2^{\prime }-m_2{\overrightarrow{v}}_2$
3. 根据牛顿第三定律：${\overrightarrow{F}}_{21}=-{\overrightarrow{F}}_{12}⟹{\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{12}=\mathbf{0}$；
4. 将两式相加：$$({\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{12})\mathrm{\Delta }t=(m_1{\overrightarrow{v}}_1^{\prime }+m_2{\overrightarrow{v}}_2^{\prime })-(m_1{\overrightarrow{v}}_1+m_2{\overrightarrow{v}}_2)=\mathbf{0}$$$$\therefore m_1{\overrightarrow{v}}_1+m_2{\overrightarrow{v}}_2=m_1{\overrightarrow{v}}_1^{\prime }+m_2{\overrightarrow{v}}_2^{\prime }$$

即系统的总动量在相互作用前后保持恒定不变！

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动量守恒定律的内容与三大成立判据

1. 定律内容

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。

2. 高考三大成立判据（从严格到局部）

守恒层级	成立判据与物理条件	适用典型物理场景
一、严格守恒	系统完全不受外力，或者系统所受合外力严格为零（$\sum {\overrightarrow{F}}_{\text{外}}=\mathbf{0}$）。	冰面滑冰者互推、光滑水平面上的两滑块弹簧系统。
二、近似守恒	系统所受合外力不为零，但相互作用的内力远大于外力（$F_{\text{内}}\gg F_{\text{外}}$），且作用时间 $\mathrm{\Delta }t$ 极短，外力的冲量 $F_{\text{外}}\mathrm{\Delta }t\approx \mathbf{0}$。	爆炸、枪炮射击、高速碰撞、微粒散射。在几毫秒内，重力和摩擦力冲量几乎为零。
三、单方向（分动量）守恒	系统整体所受合外力不为零，但在某一特定方向（如水平 $x$ 轴）上合外力为零（$\sum F_{\text{外}x}=0$）。	滑块沿斜面下滑、抛体在空中水平爆炸。虽然竖直方向受重力和支持力不平衡，但水平方向总动量严格守恒！

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动量守恒定律的四大数学表达形式

1. 状态式：$$p_1+p_2+\cdots +p_n=p_1^{\prime }+p_2^{\prime }+\cdots +p_n^{\prime }(\text{即 }{\overrightarrow{p}}_{\text{初}}={\overrightarrow{p}}_{\text{末}})$$
2. 转移式（增减守恒）：$$\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_1=-\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_2(\text{即 }\mathrm{\Delta }{p}_{1\text{增}}=\mathrm{\Delta }{p}_{2\text{减}})$$系统内一部分动量的增加量，严格等于其余部分动量的减少量。
3. 变化量式：$$\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_{\text{总}}=\mathbf{0}$$
4. 时间积分位移式（人船模型微元累积）： 若系统由两静止物体组成（初始总动量为零），由于任一瞬时 $m_1{v}_1(t)=m_2{v}_2(t)$： 两边对时间积分：$\int m_1{v}_{1}dt=\int m_2{v}_{2}dt$，得到空间位移守恒定律：$$m_1{x}_1=m_2{x}_2$$
   • 质量大的物体移动距离小，质量小的物体移动距离大；
   • 极其适用于求解“人走船退”、“人在气球软梯上爬行”、“小车内滑块滑动”等无摩擦系统的空间相对位移。

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典型考点与易错辨析

WARNING

高考常考认知误区

• [×] “只要系统内有摩擦力，系统的动量就一定不守恒。”（大错特错！摩擦力如果是系统内部各物体间的相互作用力（内力），它只会使系统的机械能转化为内能耗散，但对系统总动量没有任何破坏作用，动量依然严格守恒！）
• [×] “在斜面上滑下的小球和小车系统，动量在任何方向都守恒。”（错误！竖直方向支持力与重力合力不为零，只有在水平方向不受外力时，水平方向分动量守恒）
• [√] 动量守恒定律不仅适用于低速宏观机械运动，而且在高速相对论物理、微观量子物理中依然严格普适，是自然界最基本的守恒定律之一。