04 · 机械能守恒定律

机械能的定义

动能与势能（包括重力势能与弹性势能）统称为机械能（Mechanical Energy），记作 $E$ ：

E = E_{k} + E_{p} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h + (\frac{1}{2} k x^{2})

设质量为 $m$ 的物体在空间运动，若运动过程中只有重力对其做功：

由动能定理： $W_{合} = W_{G} = E_{k 2} - E_{k 1}$
由重力做功与重力势能变化关系： $W_{G} = - Δ E_{p} = E_{p 1} - E_{p 2}$
联立消去重力功 $W_{G}$ ： $E_{k 2} - E_{k 1} = E_{p 1} - E_{p 2} ⟹ E_{k 1} + E_{p 1} = E_{k 2} + E_{p 2}$

即初状态的机械能总和严格等于末状态的机械能总和：

E_{1} = E_{2}

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

IMPORTANT

守恒条件的核心判据：看“做功”而非看“受力”
守恒条件常被简称为“只有重力或弹力做功”，具体可分为以下三大层次判据：

受力纯净：物体只受重力（或弹簧弹力），不受任何其他外力（如自由落体、平抛、斜抛）；
受其他力但其他力不做功：物体除了受重力或弹簧弹力外，还受到其他力，但其他力方向时刻垂直于运动速度，全过程做功恒为零（如光滑曲面滑块受支持力、轻绳摆球受轻绳拉力）；
系统内力做功代数和为零：对于多物体系统，系统内部除保守内力外的其他相互作用力（如轻杆两端的拉力、不可伸长轻绳两端的张力）所做的总功代数和严格为零（仅仅在系统内部各物体间转移机械能）。

在高考解题中，针对不同构型的物理系统，选择最契合的表达式能将列式复杂度降到最低：

表达式类型	数学公式结构	核心物理视角	适用题型与突出优势
状态式	$E_{1} = E_{2}$ ( $E_{k 1} + E_{p 1} = E_{k 2} + E_{p 2}$ )	系统在初、末两状态的总机械能数值守恒	单物体、运动轨迹明确的系统。（注意：必须预先指定零势能参考平面！）
转化式	$Δ E_{k} = - Δ E_{p}$ ( $Δ E_{k 增} = Δ E_{p 减}$ )	动能的增加量严格等于势能的减少量（或反之）	含弹簧系统、复杂势能系统。（巨大优势：完全无需选定零势能参考面！）
转移式	$Δ E_{A 增} = Δ E_{B 减}$	系统内物体 $A$ 机械能的增加量等于物体 $B$ 机械能的减少量	多物体连接体系统（如阿特伍德机、绳连双滑块系统）。避开繁琐的内力做功计算。

WARNING

高考常考辨析正误

[×] “做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒。”（错误！例如跳伞运动员匀速下降，动能不变，但重力势能减小，机械能减小；起重机匀速吊起货物，机械能增加）
[×] “合外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒。”（大错特错！动能定理表明合外力做功为零只能保证动能不变。例如物体沿粗糙斜面匀速下滑，合力做功为零，动能不变，但势能持续减小，机械能转化为内能耗散，机械能根本不守恒）
[√] 只要只有重力和系统内弹簧弹力做功，无论物体做直线运动还是复杂曲线运动，机械能必恒定守恒。