03 · 重力势能与弹性势能

重力做功的特征与保守力

1. 重力做功与路径无关性

物体在重力场中运动，重力对物体做的功只与物体的初位置和末位置的高度差有关，而与物体运动的具体路径、轨迹形状（无论是直线还是复杂的曲线）完全无关：

$$W_G=mg(h_1-h_2)=mg\mathrm{\Delta }h$$

• 沿闭合路径运动一周回回到原点时，重力做功的代数和严格为零：$\oint {\overrightarrow{F}}_G\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=0$。
• 保守力（Conservative Force）：物理学中，凡是做功大小只取决于始末位置、与运动路径无关的力称为保守力。重力、弹簧弹力、静电力都是典型的保守力。

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重力势能（Gravitational Potential Energy）

1. 定义与数学表达式

物体由于被举高而具有的能量叫作重力势能，记作 $E_p$：

$$E_p=mgh$$

• 国际单位：焦耳（$\text{J}$），为状态量、标量。

2. 重力做功与重力势能变化量的核心纽带

$$W_G=E_{p1}-E_{p2}=-\mathrm{\Delta }{E}_p$$

这一方程是整个力能学中最基础的能量转化法则：

1. 重力做正功（$W_G>0$，物体下落）： 重力势能减少，$\mathrm{\Delta }{E}_p=-W_G<0$。减少的重力势能转化为动能或其他形式的能；
2. 重力做负功（$W_G<0$，物体上升）： 物体克服重力做功，重力势能增加，$\mathrm{\Delta }{E}_p=|W_G|>0$。消耗动能转化为重力势能。

3. 重力势能的相对性与势能差的绝对性

• 参考平面（零势能面）的选择：
  • 重力势能的数值大小取决于零势能参考平面的设定；
  • 位于参考平面上方的物体，$h>0⟹E_p>0$；
  • 位于参考平面下方的物体，$h<0⟹E_p<0$（负号表示该处的势能低于参考平面）；
  • 位于参考平面上的物体，$E_p=0$。
• 势能变化量 $\mathrm{\Delta }{E}_p$ 的绝对性：

  IMPORTANT

  虽然不同参考平面测得的势能数值不同，但物体在任意两位置之间的重力势能变化量 $\mathrm{\Delta }{E}_p=mg(h_2-h_1)$ 与参考平面的选择完全无关！物理规律（如做功、能量转化）只取决于势能差，绝不依赖于坐标零点的任意选取。

4. 重力势能的系统性

严格来说，重力势能并不单属于某一个物体，而是由地球和该物体所组成的引力系统所共同拥有的。日常所说的“物体的重力势能”，是“物体与地球系统的重力势能”的简便俗称。

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弹性势能（Elastic Potential Energy）

发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能叫作弹性势能。

1. 弹簧弹力做功的微元积分推导

根据胡克定律，轻弹簧的弹力大小为 $F=kx$（$x$ 为弹簧相对于原长的形变量，即伸长量或压缩量）。由于弹力是随形变量线性变化的变力，不能直接套用 $W=Fs$。

• 几何面积积分法（微元法）： 在 $F-x$ 坐标系中，$F=kx$ 是一条过原点的倾斜直线。从形变量 $x_1$ 变化到 $x_2$ 时，弹力做的功严格等于该直线与坐标轴所围梯形（或三角形）的面积：$$W_{\text{弹}}={\int }_{x_1}^{x_2}(-kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}k{x}_1^2-\frac{1}{2}k{x}_2^2$$

2. 弹性势能公式

物理学将弹簧在形变量为 $x$ 时的弹性势能定义为：

$$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$$

• $k$ 为弹簧的劲度系数（$\text{N/m}$）；
• $x$ 为弹簧的形变量（伸长量或压缩量，以原长为零势能点）；
• 结论：无论弹簧是被拉伸还是被压缩，只要形变量 $x$ 相同，弹簧储存的弹性势能完全相等，且恒有 $E_p\ge 0$。

3. 弹力做功与弹性势能变化的关系

$$W_{\text{弹}}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_{p1}-E_{p2}$$

• 弹簧恢复原长过程中（$x$ 减小），弹力做正功，弹性势能减少（释放能量）；
• 弹簧被拉长或被压紧过程中（$x$ 增大），弹力做负功（克服弹力做功），弹性势能增加（储存能量）。