03 · 生活中的圆周运动

铁路与高速公路弯道设计

火车和汽车在水平路面上转弯时，如果路面完全水平，所需的向心力必须完全由车轮与轨道（或路面）之间的侧向静摩擦力或轮缘挤压力提供。这极易造成轨道侧向磨损严重或汽车侧滑失控。

当车辆以某一特定速度 $v_{0}$ 转弯时，重力与法向支持力的合力恰好等于所需向心力：

运行速度对比	合外力与所需向心力关系	轮缘与轨道挤压情况	安全隐患与维护要求
$v = v_{0}$	$m g \tan θ = m \frac{v^{2}}{R}$	内、外轨轮缘均无侧向挤压	最佳运行状态，轨道磨损最小
$v > v_{0}$	$m g \tan θ < m \frac{v^{2}}{R}$ （向心力不足）	火车有离心倾向，外轨对外侧轮缘产生向内的侧压力	长期超速会导致外轨磨损变薄，有脱轨风险
$v < v_{0}$	$m g \tan θ > m \frac{v^{2}}{R}$ （向心力过剩）	火车有近心倾向，内轨对内侧轮缘产生向外的侧压力	长期过慢会导致内轨压损，极端情况下甚至翻向内侧

设拱形桥和凹形路面在最高点或最低点附近的曲率半径均为 $R$ ，汽车质量为 $m$ ，通过该点的瞬时速率为 $v$ 。

汽车在拱桥最高点时，受竖直向下的重力 $m g$ 和桥面竖直向上的支持力 $F_{N}$ ：

动力学方程： $m g - F_{N} = m \frac{v^{2}}{R} ⟹ F_{N} = m g - m \frac{v^{2}}{R}$
物理现象： $F_{N} < m g$ ，汽车处于失重状态；
临界飞离速度：当速度增大到使 $F_{N} = 0$ 时，汽车恰好对桥面无压力： $m g - 0 = m \frac{v_{飞}^{2}}{R} ⟹ v_{飞} = \sqrt{g R}$
- 当 $v \geq \sqrt{g R}$ 时，汽车将直接脱离桥面，在空中做平抛运动飞出，失去操控转向能力，极其危险！

汽车在凹形路面最低点时，加速度竖直向上指向曲率中心：

动力学方程： $F_{N} - m g = m \frac{v^{2}}{R} ⟹ F_{N} = m g + m \frac{v^{2}}{R}$
物理现象： $F_{N} > m g$ ，汽车处于超重状态；
工程启示：由于桥面受到远大于自重的压力（且速度越大压力剧增），汽车在凹形路段容易爆胎，凹形桥梁受压应力极大容易坍塌，故实际桥梁工程中极少采用凹形主桥面。

用一根长为 $L$ 的细线悬挂一质量为 $m$ 的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动，细线扫过的轨迹为一个圆锥面，称为圆锥摆。

竖直方向受力平衡： $T \cos θ = m g ⟹ T = \frac{m g}{\cos θ}$
水平方向合力提供向心力： $F_{n} = T \sin θ = m g \tan θ$
将向心力方程 $F_{n} = m ω^{2} R = m {(\frac{2 π}{T_{0}})}^{2} R$ 代入： $m g \tan θ = m ω^{2} (L \sin θ) ⟹ g \frac{\sin θ}{\cos θ} = ω^{2} L \sin θ$
解得角速度与周期： $ω = \sqrt{\frac{g}{L \cos θ}} = \sqrt{\frac{g}{h}}$ $T_{0} = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{L \cos θ}{g}} = 2 π \sqrt{\frac{h}{g}}$

TIP

可汗学院直观思考：圆锥摆的高度等时性
周期公式表明，圆锥摆的运动周期 $T_{0}$ 只与悬点到转动平面的竖直距离 $h$ 有关！如果用不同长度的绳子悬挂不同质量的小球，只要调节角度使它们在同一个水平面内转动（即具有相同的 $h$ ），则所有小球的转动周期和角速度严格相同！