01 · 描述圆周运动的物理量

匀速圆周运动的定义与运动学本质

1. 定义

质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫作匀速圆周运动。

2. 运动学本质：变加速运动

• 速度标量属性：质点沿圆周运动的速率（速度的大小）恒定不变；
• 速度矢量属性：质点在任意时刻的速度方向沿该点的圆周切线方向，速度方向时刻在改变；
• 加速度判定：由于速度矢量在时刻改变，必具有加速度（$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\ne \mathbf{0}$）。此外，加速度的方向也时刻指向圆心不断旋转。
• 结论：匀速圆周运动绝不是匀速运动，而是加速度大小恒定、方向时刻变化的变加速曲线运动！

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描述圆周运动的物理量矩阵

为了从“空间快慢”与“转动快慢”两个维度全面刻画圆周运动，物理学引入了一组相互关联的物理量：

物理量	符号与国际单位	物理定义与微分表达式	物理意义
线速度 (Linear Velocity)	$v(\text{m/s})$	$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$	描述质点沿圆弧轨迹运动的瞬时位置变化快慢（方向为切线方向）
角速度 (Angular Velocity)	$\omega (\text{rad/s})$	$\omega =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}$	描述质点绕圆心转动的角度扫过快慢
周期 (Period)	$T(\text{s})$	转过一周（$2\pi \text{rad}$）所耗费的时间	描述转动重复周期的长短
频率 (Frequency)	$f(\text{Hz})$	$f=\frac{1}{T}$，单位时间内完成全周运动的次数	描述转动快慢
转速 (Rotational Speed)	$n(\text{r/s 或 r/min})$	单位时间内转过的圈数（当以 $\text{r/s}$ 为单位时，数值上 $n=f$）	工程中常用转动速度指标

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物理量之间的定量推导与互化公式

设质点做半径为 $r$ 的匀速圆周运动，运动一周所用时间为 $T$：

1. 线速度与周期的关系： 一周的圆周周长为 $2\pi r$，经历时间为 $T$，故：$$v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi rf=2\pi rn$$
2. 角速度与周期的关系： 一周转过的弧度为 $2\pi \text{rad}$，经历时间为 $T$，故：$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f=2\pi n$$
3. 线速度与角速度的桥梁公式（弧长微分关系）： 由平面几何弧长定义 $\mathrm{\Delta }s=r\mathrm{\Delta }\theta$，两边同除以 $\mathrm{\Delta }t$：$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=r\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}⟹v=\omega r$$

NOTE

公式中 $r$ 的物理双重性：

• 当角速度 $\omega$ 一定时，线速度 $v$ 与半径 $r$ 成正比（$v\propto r$）；
• 当线速度 $v$ 一定时，角速度 $\omega$ 与半径 $r$ 成反比（$\omega \propto \frac{1}{r}$）。

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经典传动装置模型：同轴转动 vs 接触/皮带传动

在机械传动与高考模型中，传动系统是考查圆周物理量比例关系的核心工具：

1. 同轴转动模型（Coaxial Rotation）

• 物理构型：绕同一转轴固连旋转的所有轮子（如轮轴、地球自转模型、钟表指针）；
• 核心约束：轮上各点在相等时间内转过的角度严格相等，角速度恒相等：$${\omega }_A={\omega }_B,T_A=T_B$$
• 衍生比例：线速度与旋转半径成正比：$$\frac{v_A}{v_B}=\frac{r_A}{r_B}$$

2. 皮带 / 链条 / 齿轮啮合传动模型（Tangential Transmission）

• 物理构型：通过不打滑的皮带、链条连接的轮子，或相互咬合的齿轮、摩擦轮边缘接触点；
• 核心约束：由于皮带不打滑或轮缘无相对滑动，连接处各点的位移在相等时间内严格相等，轮缘线速度大小恒相等：$$v_B=v_C$$
• 衍生比例：角速度与半径成反比，周期与半径成正比：$$\frac{{\omega }_B}{{\omega }_C}=\frac{r_C}{r_B},\frac{T_B}{T_C}=\frac{r_B}{r_C}$$

3. 经典综合应用：自行车齿轮传动比

自行车传动系统由大齿盘（踏板轮，半径 $r_1$）、飞轮（后齿轮，半径 $r_2$）和后车轮（半径 $R$）构成：

1. 大齿盘与飞轮通过链条连接：属于皮带传动，边缘线速度相等：$$v_1=v_2⟹{\omega }_1{r}_1={\omega }_2{r}_2⟹{\omega }_2=\frac{r_1}{r_2}{\omega }_1$$
2. 飞轮与后车轮同轴旋转：属于同轴转动，角速度相等：$${\omega }_{\text{后}}={\omega }_2=\frac{r_1}{r_2}{\omega }_1$$
3. 自行车的行驶速度（即后轮边缘的地面线速度）：$$v_{\text{车}}={\omega }_{\text{后}}R=\frac{r_1}{r_2}R{\omega }_1$$

由此可见，增大前齿盘半径 $r_1$、减小后飞轮半径 $r_2$ 或增大车轮半径 $R$，均能使脚蹬相同角速度 ${\omega }_1$ 时获得更高的行车速度。