考点 · 竖直面圆周运动轻绳与轻杆临界模型

竖直平面圆周运动的两大基本模型

竖直平面内的圆周运动是高考力学与能量守恒的必考压轴载体。其核心难点在于：物体在最高点的受力性质与临界极值条件截然不同。

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模型一：轻绳模型（单向约束模型）

1. 物理构型与约束特性

• 典型载体：轻绳系小球、光滑球壳内侧运动、光滑凸形圆弧轨道外侧运动；
• 力的约束特性：单向约束。轻绳只能产生拉力（$T\ge 0$），绝不能支撑；圆轨道内壁只能产生向内的支持力（$F_N\ge 0$），绝不能拉住小球。

2. 最高点的临界速度推导

在轨道最高点，小球受竖直向下的重力 $mg$ 和轻绳竖直向下的拉力 $T$：

$$mg+T=m\frac{v^2}{R}$$

• 要使小球能沿圆轨道越过最高点，绳子必须处于张紧状态，临界条件为 $T=0$（即仅靠重力恰好提供向心力）：$$mg=m\frac{v_{min}^2}{R}⟹v_{min}=\sqrt{gR}$$
• 最高点运动状态判据：
  • $v>\sqrt{gR}$：小球顺利通过最高点，且绳子受到拉力 $T=m\frac{v^2}{R}-mg>0$；
  • $v=\sqrt{gR}$：小球恰好通过最高点，绳子张力刚好为零；
  • $v<\sqrt{gR}$：小球根本无法到达最高点！在到达最高点之前的某一位置（$\sqrt{gR}<v<\sqrt{2gR}$ 区间），绳子便提前松弛（$T=0$），小球脱离圆轨道做斜上抛运动。

3. 黄金结论：最低点与最高点拉力差恒为 $6mg$

设小球顺利通过最高点速度为 $v_1$，最低点速度为 $v_2$：

1. 最高点方程：$T_1+mg=m\frac{v_1^2}{R}⟹T_1=m\frac{v_1^2}{R}-mg$
2. 最低点方程：$T_2-mg=m\frac{v_2^2}{R}⟹T_2=m\frac{v_2^2}{R}+mg$
3. 两点机械能守恒：$$\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2=mg(2R)⟹\frac{m{v}_2^2}{R}-\frac{m{v}_1^2}{R}=4mg$$
4. 拉力之差：$$\mathrm{\Delta }T=T_2-T_1=(m\frac{v_2^2}{R}+mg)-(m\frac{v_1^2}{R}-mg)=4mg+2mg=6mg$$

IMPORTANT

顶底拉力差恒为 $6mg$ 定理：无论小球以多大初速度在竖直圆周内运动，只要能完成完整圆周，最低点轻绳拉力与最高点拉力之差恒等于 $6mg$，与小球的速度大小和轨道半径 $R$ 完全无关！ 特别地，当小球恰好以临界速度 $v_1=\sqrt{gR}$ 过顶时，$T_1=0$，最低点拉力恰好为 $T_2=6mg$，最低点速度为 $v_2=\sqrt{5gR}$。

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模型二：轻杆模型（双向约束模型）

1. 物理构型与约束特性

• 典型载体：轻质硬杆连小球、小球在光滑圆形细管道内运动、小球套在光滑圆环导轨上；
• 力的约束特性：双向约束。轻杆或双侧管壁既可以提供指向圆心的拉力，也可以提供背离圆心的支撑力。

2. 最高点的临界速度

由于轻杆能够提供向上支撑，小球只要到达最高点时速度不为零，就不会掉下来：

$$v_{min}=0$$

只要最高点速度 $v\ge 0$，小球就能顺利通过最高点。

3. 最高点受力方向的“转折分界点”（$v=\sqrt{gR}$）

在最高点，设杆对球的作用力为 $F$（规定竖直向上为正）：

$$mg-F=m\frac{v^2}{R}⟹F=mg-m\frac{v^2}{R}$$

根据最高点速度 $v$ 的不同，受力呈现三大阶段：

1. 当 $v=\sqrt{gR}$ 时：$F=0$，杆对球无任何弹力，完全由小球自重提供向心力；
2. 当 $0\le v<\sqrt{gR}$ 时：$F>0$，杆对小球表现为竖直向上的支持力。速度越小，所需支持力越大；当 $v=0$ 时，支持力达到最大值 $F=mg$；
3. 当 $v>\sqrt{gR}$ 时：$F<0$，杆对小球表现为竖直向下的拉力。其大小为 $T=m\frac{v^2}{R}-mg$，速度越大，拉力越大。

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轻绳模型与轻杆模型全景对比矩阵

物理维度	轻绳模型（外轨 / 球壳内侧）	轻杆模型（管道 / 圆环套球）
受力约束本质	单向约束（仅能拉 / 仅能向内压）	双向约束（既能拉又能推）
最高点临界速度	$v_{min}=\sqrt{gR}$	$v_{min}=0$
最高点受力性质	必定是竖直向下的拉力或压紧力	$v<\sqrt{gR}$ 时为支持力；$v=\sqrt{gR}$ 时为 $0$；$v>\sqrt{gR}$ 时为拉力
$v<v_{min}$ 运动结局	在到达最高点前脱离轨道做斜上抛	只要速度不反向即可通过；若速度减为零则发生反向摆动
恰好过顶最低点速度	$v_{\text{底}}=\sqrt{5gR}$	$v_{\text{底}}=2\sqrt{gR}$
最低点与最高点力之差	$T_{\text{底}}-T_{\text{顶}}=6mg$	若最高点为拉力：$F_{\text{底}}-F_{\text{顶}}=6mg$；若最高点为支持力：$F_{\text{底}}+F_{\text{顶}}=6mg$