考点 · 平抛运动三大经典解题模型

模型一：斜面平抛模型

斜面平抛是高考最高频考查的抛体模型。核心在于利用斜面倾角的几何约束建立运动学方程。

1. 情境 A：从斜面顶点抛出并落回斜面上

从倾角为 $\theta$ 的斜面顶端以初速度 $v_0$ 水平抛出小球，最终落在斜面上：

      v_0 ---> (抛出点)
      |\
      | \
      |  \ 抛物线轨迹
    y |   \
      |    \ (落点)
      +-----\------
         x     \ 斜面 (倾角 θ)

(1) 位移角约束法

• 几何约束：落在斜面上意味着合位移的方向与水平方向夹角恰好等于斜面倾角 $\theta$：$$\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^2}{v_{0}t}=\frac{gt}{2v_0}$$
• 飞行时间公式：$$t=\frac{2v_0\tan \theta }{g}$$
• 沿斜面位移（射程）：$$s=\frac{x}{\cos \theta }=\frac{v_{0}t}{\cos \theta }=\frac{2v_0^2\tan \theta }{g\cos \theta }=\frac{2v_0^2\sin \theta }{g{\cos }^2\theta }$$
• 落到斜面上的速度偏角 $\beta$： 由定理 $\tan \beta =2\tan \theta$，由于 $\theta$ 为斜面定值，落到斜面上的速度方向与斜面的夹角与初速度 $v_0$ 大小完全无关！

(2) 离斜面最大距离 $d_{max}$（对称性与最值）

• 物理判据：当小球的瞬时速度方向与斜面平行时，小球距离斜面最远；
• 此时速度偏角为 $\theta$：$$\tan \theta =\frac{v_y}{v_0}=\frac{g{t}_1}{v_0}⟹t_1=\frac{v_0\tan \theta }{g}=\frac{1}{2}t$$

  TIP

  到达最大距离的时间 $t_1$ 恰好是整个飞行时间 $t$ 的一半！体现了抛体运动的时间对称性。

• 斜面分解法（沿斜面与垂直斜面正交分解）：
  • 垂直斜面方向：初速度 $v_{0\perp }=v_0\sin \theta$，加速度 $a_{\perp }=g\cos \theta$（垂直斜面向下）；
  • 最大距离即为垂直方向的“竖直上抛”最大位移：$$d_{max}=\frac{v_{0\perp }^2}{2a_{\perp }}=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g\cos \theta }=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g\cos \theta }$$

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2. 情境 B：从斜面外水平抛出，垂直打在斜面上

小球以初速度 $v_0$ 水平抛出，恰好垂直撞击倾角为 $\theta$ 的斜面：

• 速度角约束：合速度垂直于斜面，则合速度与水平方向的夹角为 ${90}^{\circ }-\theta$；
• 速度正切关系：$$\tan ({90}^{\circ }-\theta )=\cot \theta =\frac{v_y}{v_0}=\frac{gt}{v_0}$$
• 飞行时间：$$t=\frac{v_0}{g\tan \theta }$$
• 撞击速度大小：$$v=\frac{v_0}{\sin \theta }$$

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模型二：平抛与竖直圆弧轨道切向对接模型

在过山车、滑雪跳台等力电综合题目中，常要求平抛质点“无碰撞地沿切线滑入竖直圆弧轨道”。

1. 物理条件解构

• “无碰撞切入”意味着质点到达圆弧入口点 $A$ 时的合速度方向，严格重合于圆弧在该点的切线方向。
• 设圆弧入口处半径与竖直方向夹角为 $\alpha$（则切线与水平方向夹角为 $\alpha$）：$$\tan \alpha =\frac{v_y}{v_0}=\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$$

2. 几何与动力学联立求解范式

1. 由高度求竖直分速度：设抛出点与入口高度差为 $h$，则 $v_y=\sqrt{2gh}$；
2. 由切角求合速度与初速度：$$v_0=\frac{v_y}{\tan \alpha }=\frac{\sqrt{2gh}}{\tan \alpha },v_A=\frac{v_0}{\cos \alpha }=\frac{v_y}{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{2gh}}{\sin \alpha }$$
3. 进入圆弧后的轨道支持力计算（向心力方程）：$$F_N-mg\cos \alpha =m\frac{v_A^2}{R}⟹F_N=mg\cos \alpha +m\frac{v_A^2}{R}$$

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模型三：网球 / 排球越网不出界边界极值窗口

发球人在距地面高 $H$、距球网水平距离 $x_1$ 处将球水平击出。球网高度为 $h$，球场底线距发球处水平距离为 $x_2$。求击球速度 $v_0$ 能够使球既越过球网又不越出底线的取值区间 $[v_{min},v_{max}]$。

1. 临界状态一：恰好越过球网（决定初速度下限 $v_{min}$）

• 球运动到球网上方时，水平位移为 $x_1$，经历时间 $t_1=\frac{x_1}{v_0}$；
• 此时球下落的竖直位移必须小于发球点与网顶的高度差：$$y_1=\frac{1}{2}g{t}_1^2=\frac{g{x}_1^2}{2v_0^2}\le H-h$$
• 解得越网最小初速度：$$v_0\ge x_1\sqrt{\frac{g}{2(H-h)}}⟹v_{min}=x_1\sqrt{\frac{g}{2(H-h)}}$$

2. 临界状态二：恰好落在底线内（决定初速度上限 $v_{max}$）

• 球从抛出到落地，总下落高度为 $H$，总飞行时间：$$t_2=\sqrt{\frac{2H}{g}}$$
• 落地时的水平射程必须不超过球场底线距离 $x_2$：$$x=v_0{t}_2=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}}\le x_2$$
• 解得不出界最大初速度：$$v_0\le x_2\sqrt{\frac{g}{2H}}⟹v_{max}=x_2\sqrt{\frac{g}{2H}}$$

3. 有解充要条件

为使合法的发球速度区间存在（即 $v_{min}<v_{max}$），球网高度与发球高度必须满足相容几何条件：

$$x_1\sqrt{\frac{g}{2(H-h)}}<x_2\sqrt{\frac{g}{2H}}⟹\frac{x_1^2}{H-h}<\frac{x_2^2}{H}$$

若该不等式不满足，则无论发球速度多大，球要么被网拦截，要么直接飞出底线。