02 · 牛顿第二定律与力学单位制

探究加速度与力、质量的关系

在力学实验中，采用控制变量法研究 $a$、$F$、$m$ 三者的定量关系：

1. 保持小车质量 $M$ 不变，改变拉力 $F$，测得：$a\propto F$；
2. 保持拉力 $F$ 不变，改变小车质量 $M$，测得：$a\propto \frac{1}{M}$；
3. 综合得出正比关系：$a\propto \frac{F}{M}⟹F=k\cdot ma$。

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牛顿第二定律的内容与公式

1. 定律表述

物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比、跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。

2. 数学表达式与力的单位定义

为了让比例系数 $k=1$，人们定义：使质量为 $1\text{kg}$ 的物体产生 $1{\text{m/s}}^2$ 的加速度所需要的力为 $1\text{N}$，即：

$$1\text{N}=1\text{kg}\cdot {\text{m/s}}^2$$

在此国际单位制下，比例系数 $k=1$，定律写为：

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{合}}=m\overrightarrow{a}$$

3. 牛顿第二定律的“五大特征”

特征	物理内涵	解题关键应用
矢量性	加速度 $\overrightarrow{a}$ 的方向恒与合外力 ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{合}}$ 的方向完全一致	确定合力方向即可直接确定加速度方向，反之亦然
瞬时性	加速度与合外力具有时间上的瞬时对应关联	力突变瞬间，加速度立刻随之突变（如剪断轻绳瞬间）
同体性	方程中的 $F$、$m$、$a$ 必须对应同一个研究对象	隔离某物体分析时，只能代入该物体的质量与它受到的外力
独立性	作用在物体上的每一个分力各自产生独立的加速度	分力产生的加速度互不干扰，总加速度等于各分加速度矢量和
因果性	合外力是产生加速度的原因，加速度是受力的结果	速度不是力产生的，加速度才是合外力造就的

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直角坐标系正交分解动力学方程

在二维平面问题中，牛顿第二定律通过正交分解化为标量代数方程：

$$\{\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{合}x}=\sum F_x=m{a}_x\\ F_{\mathrm{合}y}=\sum F_y=m{a}_y\end{array}$$

通常选取物体运动（加速度）方向为 $x$ 轴正方向，垂直于加速度方向为 $y$ 轴，此时 $a_y=0$，方程简化为：

$$\{\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{合}x}=ma\\ F_{\mathrm{合}y}=0\end{array}$$

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力学单位制与量纲检验

1. 基本量与基本单位

物理公式不仅确定了物理量之间的大小数量关系，也确定了它们之间的单位关系。在国际单位制（SI）中，选定了 7 个物理量作为基本量，其中力学领域包含 3 个基本单位：

• 长度：米（$\text{m}$）
• 质量：千克（$\text{kg}$）
• 时间：秒（$\text{s}$）

2. 导出单位

由基本量根据物理关系式推导出来的单位，称为导出单位：

• 速度单位：$\text{m/s}$
• 加速度单位：${\text{m/s}}^2$
• 力的单位（牛顿）：$1\text{N}=1\text{kg}\cdot {\text{m/s}}^2$
• 功与能的单位（焦耳）：$1\text{J}=1\text{N}\cdot \text{m}=1\text{kg}\cdot {\text{m}}^2/{\text{s}}^2$

3. 量纲检验法（高考验算神器）

任何一个推导出来的物理方程，等号两边的物理量必须具有完全相同的量纲和单位。如果推导出来的公式两端单位不统一，该公式必错无疑！

• 例如计算卫星环绕速度：若算得 $v=\sqrt{GMR}$，其单位为 $\sqrt{({\text{m}}^3/{\text{s}}^2)\cdot \text{m}}={\text{m}}^2/\text{s}$，不是速度单位 $\text{m/s}$，说明公式漏写了除以 $R$，正确应为 $v=\sqrt{GM/R}$。