考点 · 动力学临界极值与连接体模型

连接体问题：整体法与隔离法

当系统中包含两个或两个以上相互关联的物体时，统称为连接体系统。

1. 整体法与隔离法的选择策略

• 整体法：将多个物体视为一个整体质点组。
  • 优势：只分析系统外力，避开系统内部物体间的相互作用力（内力）；
  • 适用条件：系统中所有物体的加速度大小和方向完全相同。
• 隔离法：将某个研究对象从系统中单独隔离出来，单独画受力分析图。
  • 适用条件：当题目要求解系统内部的相互作用力（如接触面支持力、轻绳张力、静摩擦力等），或者各物体的加速度不同时。
• 解题黄金组合：先整体求加速度 $a$，再隔离求相互作用力。

2. 加速度与内力分配定理

如图，光滑或同摩擦因数水平面上，质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两物体由轻绳相连，拉力 $F$ 水平向右拉 $m_1$：

• 整体法：$F-\mu (m_1+m_2)g=(m_1+m_2)a⟹a=\frac{F}{m_1+m_2}-\mu g$
• 隔离 $m_2$：$T-\mu m_{2}g=m_{2}a$
• 将 $a$ 代入可得轻绳张力：

$$T=\frac{m_2}{m_1+m_2}F$$

TIP

内力分配规律：轻绳张力大小只取决于两物体的质量比与外力，与接触面的动摩擦因数 $\mu$ 完全无关（只要两物体与地面的摩擦因数相同）。拉力 $F$ 被两物体的质量按比例分摊，绳子只承受其后拖拽物体的惯性与摩擦阻力。

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瞬时性问题：轻绳、轻弹簧与轻杆的动力学突变

牛顿第二定律 ${\overrightarrow{F}}_{\text{合}}=m\overrightarrow{a}$ 具有瞬时对应性：合外力改变的瞬间，加速度立即同步改变；但由于惯性，物体的速度不能突变。

1. 两类力学构件的形变与突变特性对比

物理模型	形变特点	恢复时间	状态改变瞬间受力特点
轻弹簧 / 橡皮筋	宏观形变明显（$\mathrm{\Delta }x$ 大）	形变恢复需要宏观时间	弹力不能突变！在剪断其他约束的瞬间，弹簧两端形变量保持原值，$F=k\mathrm{\Delta }x$ 瞬间恒定不变。
轻绳 / 细线 / 刚性接触面	微观微小形变（视为刚性）	形变调整时间极短（瞬时）	拉力/支持力可以突变！剪断或接触状态改变瞬间，张力瞬间变为零或自适应跳变为新平衡值。

2. 经典剪断模型对比

天花板下悬挂小球 $A$（质量 $m$），$A$ 下方连接小球 $B$（质量 $m$）：

• 情况一：天花板与 $A$ 之间为轻弹簧，$A$ 与 $B$ 之间为轻绳：
  • 平衡时：弹簧拉力 $F=2mg$，细绳张力 $T=mg$。
  • 剪断细绳瞬间：细绳张力 $T$ 瞬间变为 $0$；弹簧弹力不能突变，仍为 $2mg$。
    • 球 $A$：$F-mg=m{a}_A⟹a_A=\frac{2mg-mg}{m}=g$（方向竖直向上！）；
    • 球 $B$：仅受重力，$a_B=g$（方向竖直向下，做自由落体）。
• 情况二：天花板与 $A$ 之间为轻绳，$A$ 与 $B$ 之间为轻弹簧：
  • 平衡时：轻绳张力 $T=2mg$，弹簧弹力 $F=mg$。
  • 剪断轻绳瞬间：轻绳拉力瞬间为 $0$；弹簧弹力不能突变，仍为 $mg$（向上拉 $B$，向下拉 $A$）。
    • 球 $A$：$mg+F=m{a}_A⟹a_A=\frac{mg+mg}{m}=2g$（方向竖直向下！）；
    • 球 $B$：受向上弹力 $F$ 与向下重力 $mg$，合力为 $0⟹a_B=0$（瞬间处于悬浮平衡！）。

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动力学临界极值问题的三大判据

物理状态发生质的飞跃的关键分界点称为临界状态。

1. 两物体即将分离的临界判据

两接触物体在分离瞬间：

• 弹力判据：接触面间正压力恰好减为零，即 $F_N=0$；
• 运动学判据：分离瞬间两者仍紧密相邻，具有相同的速度 $v_1=v_2$ 和相同的加速度 $a_1=a_2$。

2. 相对滑动的临界判据

两接触物体由相对静止转为相对滑动的临界瞬间：

• 摩擦力判据：接触面间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力，即 $F_f=F_{fmax}=\mu F_N$；
• 运动学判据：两物体仍保持相对静止，拥有相同的加速度 $a$。

3. 轻绳即将松弛的临界判据

• 绳子张力恰好减小到零，即 $T=0$。

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经典综合模型一：滑块—木板模型（板块模型）

板块模型是高考考查综合动力学、摩擦力动态判定及多过程分析的终极题型。

1. 物理构型与参数

• 地面光滑（或动摩擦因数 ${\mu }_1$），长木板质量 $M$，物块质量 $m$；
• 物块与木板之间的动摩擦因数 ${\mu }_2$；
• 设外力 $F$ 水平作用在长木板 $M$ 上。

2. 相对滑动临界外力计算

求物块 $m$ 与木板 $M$ 保持相对静止共同加速的最大拉力 $F_{\text{临界}}$：

1. 分析临界受力：当 $F$ 增大到临界值时，$m$ 与 $M$ 刚要相对滑动，此时 $m$ 所受静摩擦力达到最大值 $f_{max}={\mu }_{2}mg$；
2. 隔离滑块 $m$：$$f_{max}={\mu }_{2}mg=m{a}_{max}⟹a_{max}={\mu }_{2}g$$滑块能获得的最大加速度为 ${\mu }_{2}g$（由最大静摩擦力提供）；
3. 整体法求临界拉力：$$F_{\text{临界}}=(M+m)a_{max}=(M+m){\mu }_{2}g$$
4. 动力学结论：
   • 当 $F\le (M+m){\mu }_{2}g$ 时：$m$ 与 $M$ 相对静止，以共同加速度 $a=\frac{F}{M+m}$ 运动；
   • 当 $F>(M+m){\mu }_{2}g$ 时：$m$ 与 $M$ 发生相对滑动，滑块加速度 $a_m={\mu }_{2}g$ 保持不变，木板加速度 $a_M=\frac{F-{\mu }_{2}mg}{M}>a_m$。

3. $v-t$ 图像法求解板块追及与木板最小长度

若滑块以初速度 $v_0$ 滑上静止的长木板：

• 滑块做匀减速运动：$a_m={\mu }_{2}g$，$v_m(t)=v_0-a_{m}t$；
• 木板做匀加速运动：$a_M=\frac{{\mu }_{2}mg}{M}$，$v_M(t)=a_{M}t$；
• 共速时间 $t_1$：$v_0-a_m{t}_1=a_M{t}_1⟹t_1=\frac{v_0}{a_m+a_M}$；
• 相对位移与板长约束：$$\mathrm{\Delta }x=x_m-x_M=\frac{1}{2}{v}_0{t}_1=\frac{v_0^2}{2(a_m+a_M)}$$在 $v-t$ 图像中，$\mathrm{\Delta }x$ 严格对应两条速度图线所围成的三角形面积。滑块不滑落的充要条件是长木板长度 $L\ge \mathrm{\Delta }x$。

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经典综合模型二：传送带模型与共速临界转折

传送带模型的核心在于：判断物体与传送带速度相等的瞬间，摩擦力的方向是否发生突变或消失。

1. 水平传送带

物块以初速度 $v_0$ 滑上以恒定速度 $v$ 顺时针运行的水平传送带：

• 若 $v_0<v$：物块受向右的滑动摩擦力 $f=\mu mg$，向右加速 $a=\mu g$。
  • 若传送带足够长，物块加速到 $v$ 时相对静止，摩擦力瞬间变为 $0$，此后匀速运动；
  • 若传送带长度不足，物块一直匀加速滑出。
• 若 $v_0>v$：物块受向左的滑动摩擦力，向右匀减速，减速到 $v$ 后摩擦力变为 $0$，做匀速运动。

2. 倾斜传送带（倾角 $\theta$）

物块轻放在向下匀速运行（速度为 $v$）的倾斜传送带上：

• 第一阶段（$v_{\text{物}}<v$）：传送带比物块快，传送带给物块沿斜面向下的滑动摩擦力：$$mg\sin \theta +\mu mg\cos \theta =m{a}_1⟹a_1=g(\sin \theta +\mu \cos \theta )$$
• 转折瞬间（$v_{\text{物}}=v$）：共速瞬间，摩擦力性质发生突变，取决于 $\mu$ 与 $\tan \theta$ 的大小关系：
  • 若 $\mu \ge \tan \theta$：共速后，物块所受下滑力 $mg\sin \theta \le \mu mg\cos \theta$。物块不再相对滑动，静摩擦力突变为沿斜面向上且 $f=mg\sin \theta$，物块此后以速度 $v$ 匀速下滑；
  • 若 $\mu <\tan \theta$：共速后，下滑力大于最大静摩擦力，物块继续加速，速度超过传送带。此时传送带比物块慢，摩擦力方向瞬间反向（变为沿斜面向上）：
  $$mg\sin \theta -\mu mg\cos \theta =m{a}_2⟹a_2=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )<a_1$$物块此后以更小的加速度 $a_2$ 继续做匀加速下滑，直至离开传送带。