04 · 力的合成与分解

合力与分力的等效替代思想

• 等效替代：如果一个力作用在物体上产生的效果，跟几个力共同作用在物体上产生的效果完全相同，那么这个力就叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力。
• 力的合成：求几个力的合力的过程。
• 力的分解：求一个已知力的分力的过程（力的合成的逆运算）。

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平行四边形定则与三角形定则

在物理学中，所有矢量的合成与分解都遵守平行四边形定则：

图 2.4-1 力的平行四边形定则：共点分力 F₁、F₂ 为邻边，对角线即代表合力 F 的大小与方向

1. 定则表述

两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。

2. 合力大小的数学计算与极值范围

设两分力大小分别为 $F_1$、$F_2$，两者夹角为 $\theta$：

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos \theta }$$

• 夹角 $\theta =0^{\circ }$（同向共线）：合力最大，$F_{max}=F_1+F_2$；
• 夹角 $\theta ={180}^{\circ }$（反向共线）：合力最小，$F_{min}=|F_1-F_2|$；
• 夹角 $\theta ={90}^{\circ }$（相互垂直）：$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$；
• 夹角增大，合力减小：在两分力大小不变的前提下，随着夹角 $\theta$ 从 $0^{\circ }$ 增大到 ${180}^{\circ }$，合力 $F$ 单调减小。
• 合力取值区间：$$|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$$

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力的正交分解法（高频通用计算算法）

正交分解是将物体受到的多个不在同一直线上的共点力，投影分解到两个互相垂直的坐标轴上，化多维问题为一维代数和：

1. 建立坐标轴的黄金原则

1. 尽量让最多的力落在坐标轴上，减少需要分解的力的个数；
2. 在动力学问题中，通常以加速度 $\overrightarrow{a}$ 的方向（或运动方向）为 $x$ 轴正方向，$y$ 轴垂直于加速度方向（此时 $a_y=0$）。

2. 正交分解计算标准范式

将各力分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴投影：

$$\{\begin{array}{l}{F}_x=F\cos \theta \\ F_y=F\sin \theta \end{array}$$

分别求出 $x$ 轴与 $y$ 轴方向的分力代数和：

$$F_{\mathrm{合}x}=\sum F_x,F_{\mathrm{合}y}=\sum F_y$$

求总合力大小与方向：

$$F_{\mathrm{合}}=\sqrt{F_{\mathrm{合}x}^2+F_{\mathrm{合}y}^2},\tan \alpha =\frac{F_{\mathrm{合}y}}{F_{\mathrm{合}x}}$$

• 在平衡状态下：$$\{\begin{array}{l}\sum F_x=0\\ \sum F_y=0\end{array}$$