04 · 匀变速直线运动规律与自由落体

匀变速直线运动的本质

• 定义：沿着一条直线，且加速度保持不变（大小和方向均恒定）的运动，称为匀变速直线运动（Uniformly Accelerated Linear Motion）。
• 分类：
  • 匀加速直线运动：$a$ 与 $v$ 同向（加速）；
  • 匀减速直线运动：$a$ 与 $v$ 反向（减速）。

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四大基本公式与决策矩阵

1. 四大基本公式推导

$$\{\begin{array}{ll}(1)\text{速度与时间关系：}& v=v_0+at\\ (2)\text{位移与时间关系：}& x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2\\ (3)\text{位移与速度关系：}& v^2-v_0^2=2ax\\ (4)\text{平均速度与位移：}& x=\overline{v}t=\frac{v_0+v}{2}t\end{array}$$

图 1.4-1 可汗学院与微积分几何直观：v-t 图线下的梯形总面积等于位移 x = 矩形 S₁ (v₀t) + 三角形 S₂ (½ at²)

TIP

可汗学院直观微元推导（几何面积法） 在 $v-t$ 图像中，图线下方与时间轴围成的封闭图形是一块梯形：

• 梯形上底为初速度 $v_0$，下底为末速度 $v$，高为时间 $t$；
• 梯形面积分割为一个矩形（匀速运动部分：面积 $S_1=v_{0}t$）和一个直角三角形（加速累积部分：高为 $at$，面积 $S_2=\frac{1}{2}t\cdot at=\frac{1}{2}a{t}^2$）；
• 梯形总面积即位移：$x=S_1+S_2=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$，直观且无需复杂的代数套用。

动态交互实验：运动学微元切片累积与 v-t 梯形面积积分

拖拽调节初速度 $v_0$、加速度 $a$ 与时间 $t$，观察微元切片逼近梯形面积，直观印证位移 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$：

2. 五量选三决策矩阵

运动学包含五个核心物理量：初速度 $v_0$、末速度 $v$、加速度 $a$、时间 $t$、位移 $x$。高考解题的核心思想是“缺少哪个量，就直接选用不含该量的公式”：

缺少量	选用公式	典型适用场景
$x$（未涉及位移）	$v=v_0+at$	已知初末速度和时间，求加速度或加速时间
$v$（未涉及末速度）	$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$	已知时间求位移，或刹车制动类问题
$t$（未涉及时间）	$v^2-v_0^2=2ax$	空间行程已确定，求出站速度或起飞距离
$a$（未涉及加速度）	$x=\frac{v_0+v}{2}t$	已知初末速度和历时，快速求位移

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三大核心推论

1. 逐差公式（连续相等时间间隔内位移差）

质点做匀变速直线运动，在任意连续相等的时间间隔 $T$ 内，位移之差恒为一个定值：

$$\mathrm{\Delta }x=x_n-x_{n-1}=a{T}^2$$

更普遍的推广式（纸带处理与打点计时器实验核心公式）：

$$x_m-x_n=(m-n)a{T}^2$$

2. 中间时刻的瞬时速度

做匀变速直线运动的物体，在某段时间 $t$ 内的中间时刻的瞬时速度 $v_{\frac{t}{2}}$ 等于这段时间内的平均速度 $\overline{v}$：

$$v_{\frac{t}{2}}=\overline{v}=\frac{v_0+v}{2}$$

3. 中间位置的瞬时速度

做匀变速直线运动的物体，经过位移中点 $\frac{x}{2}$ 处的瞬时速度 $v_{\frac{x}{2}}$ 满足：

$$v_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v^2}{2}}$$

IMPORTANT

大小比较定理：无论是匀加速还是匀减速直线运动，只要 $a\ne 0$，恒有：

$$v_{\frac{x}{2}}>v_{\frac{t}{2}}$$

（当且仅当 $a=0$ 做匀速运动时，两者相等：$v_{\frac{x}{2}}=v_{\frac{t}{2}}$）。

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初速度为零（$v_0=0$）的常用比例关系

当物体做初速度为零的匀加速直线运动（或末速度为零的匀减速直线运动逆向看待）时：

1. 按连续相等时间间隔 $T$ 划分

• $1T$ 末、$2T$ 末、$3T$ 末 $\dots$ 瞬时速度之比：$$v_1:v_2:v_3:\cdots :v_n=1:2:3:\cdots :n$$
• 前 $1T$ 内、前 $2T$ 内、前 $3T$ 内 $\dots$ 总位移之比：$$x_1:x_2:x_3:\cdots :x_n=1:4:9:\cdots :n^2$$
• 第 $1$ 个 $T$ 内、第 $2$ 个 $T$ 内、第 $3$ 个 $T$ 内 $\dots$ 各段连续位移之比（自然奇数比）：$$\mathrm{\Delta }x\ast I:\mathrm{\Delta }x\ast II:\mathrm{\Delta }x\mathrm{\_}III:\cdots :\mathrm{\Delta }{x}_N=1:3:5:\cdots :(2n-1)$$

2. 按连续相等位移间隔 $x_0$ 划分

• 通过连续相等位移所用的时间之比：$$t_1:t_2:t_3:\cdots :t_n=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\cdots :(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$$

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自由落体与竖直上抛运动

1. 自由落体运动（Free Fall）

• 定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动。
• 运动性质：初速度 $v_0=0$、加速度 $a=g$（取重力加速度，地面通常 $g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$ 或 $10{\text{m/s}}^2$）的匀加速直线运动。
• 公式体系：$$v=gt,h=\frac{1}{2}g{t}^2,v^2=2gh$$

图 1.4-2 伽利略通过小倾角斜面“冲淡重力”测得小球位移与时间平方成正比，外推得出自由落体匀加速规律

2. 竖直上抛运动的对称性模型

图 1.4-3 竖直上抛时空对称性：上升时间等于下降时间；同一高度上升速率等于下落速率

初速度为 $v_0$、方向竖直向上的自由飞行运动（仅受重力，加速度 $a=-g$）：

1. 时间对称性：上升到最高点的时间等于从最高点落回原抛出点的时间：$$t\ast \mathrm{上}=t\ast \mathrm{下}=\frac{v_0}{g}$$
2. 速度对称性：物体经过空中同一高度点时，上升速度与下落速度大小相等、方向相反。
3. 最高点特征：上升的最大高度 $H=\frac{v_0^2}{2g}$，最高点处瞬时速度 $v=0$，但加速度仍为 $g$。